2020版高中数学 第一章 解三角形 1.2.3 三角形中的几何计算课件 新人教A版必修5

知识点三角形常用面积公式1．记△ABC三边a，b，c上的高分别为ha，hb，hc，则S＝12aha＝____________＝____________.2．S＝12absinC＝____________________＝____________________.12bhb或12chc12chc或12bhb12acsinB或12bcsinA12bcsinA或12acsinB3．S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)．4．海伦公式：S＝pp－ap－bp－c其中p＝12·a＋b＋c.状元随笔(1)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系．(2)处理三角形问题时还常用到以下关系式：①l＝a＋b＋c(l为三角形的周长)．②A＋B＋C＝π.③S＝abc4R(R是三角形外接圆的半径)．④S＝2R2sinAsinBsinC(R是三角形外接圆的半径)[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．()√解析：三角形面积公式适用于所有的三角形，故正确．(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则A＝60°.()×解析：由三角形面积公式S＝12bcsinA得，12×2×2×sinA＝3，所以sinA＝32，则A＝60°或A＝120°.(3)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．()×解析：利用三角形面积公式S＝12absinC显然能求出其面积，故命题错误．(4)在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6.()√解析：因为三角形的面积S＝12absinC＝12×6×4×sin30°＝6.2．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12B.32C.3D．23解析：S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32.答案：B3．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：由S△ABC＝33＝12BC·CA·sinC＝12×3×4sinC得sinC＝32，又C为锐角．故C＝60°.答案：B4．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是()A．9B．8C．93D．183解析：由题知A＝180°－120°－30°＝30°，∴6sin30°＝bsin30°，∴b＝6，∴S＝12×6×6sin120°＝93.答案：C类型一与三角形面积相关的计算问题例1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC＝acosC＋ccosA.(1)求角C的大小．(2)若b＝2，c＝7，求a及△ABC的面积．【解析】(1)因为2bcosC＝acosC＋ccosA，所以由正弦定理可得：2sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC，可得：2sinBcosC＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB0，所以cosC＝12，因为C∈(0，π)，所以C＝π3.(2)因为b＝2，c＝7，C＝π3，所以由余弦定理可得：7＝a2＋4－2×a×2×12，整理可得：a2－2a－3＝0，所以解得：a＝3或－1(舍去)，所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×3×2×32＝332.1可用正弦定理将条件转化为角的关系，求出∠C.2即为已知两边及一边的对角求第三边的问题，可用余弦定理列方程求解.方法归纳三角形面积公式有多种形式，应根据题中的条件进行选择．若已知边角混合条件通常选用S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．跟踪训练1在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．解析：(1)因为3a＝2csinA，所以asinA＝2c3.由正弦定理知asinA＝csinC，所以csinC＝2c3，所以sinC＝32.因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.(2)因为c＝7，C＝π3，由面积公式得：12absinπ3＝332，即ab＝6.由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7，所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.类型二平面图形中线段长度的计算例2如图，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B＝45°，b＝10，cosC＝255.(1)求边长a；(2)设AB中点为D，求中线CD的长．【解析】(1)由cosC＝255，C∈(0°，90°)，得sinC＝1－cos2C＝1－2552＝55，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝22×255＋22×55＝31010，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝10×3101022＝32.(2)由余弦定理得c2＝(32)2＋(10)2－2×32×10×255＝4，所以c＝2，又因为D为AB的中点，所以BD＝1.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cosB＝12＋(32)2－2×1×32×22＝13，∴CD＝13.(1)cosC⇒sinCB＝45°⇒sinA⇒a＝bsinAsinB.(2)在△BCD中，BD＝12C，故应先在△ABC中由余弦定理求C.方法归纳(1)抓住条件及待求式子的特点，恰当选择定理．(2)正弦定理常用来边角互化，余弦定理常用来联系三边的关系求边或角．(3)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算．跟踪训练2如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝7，∠ABC＝2π3，∠ACD＝π3.(1)求sin∠BAC.(2)求DC的长．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcosB，即BC2＋BC－6＝0，解得：BC＝2，或BC＝－3(舍)，由正弦定理得：BCsin∠BAC＝ACsinB⇒sin∠BAC＝BCsinBAC＝217.(2)因为AB⊥AD，所以∠CAD＋∠BAC＝π2，所以cos∠CAD＝sin∠BAC＝217，sin∠CAD＝1－37＝277，所以sinD＝sin∠CAD＋π3＝277×12＋217×32＝5714，由正弦定理得：DCsin∠CAD＝ACsinD⇒DC＝ACsin∠CADsinD＝7×2775714＝475.类型三三角形中的综合问题例3(1)△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC的边长等于()A．5B．6C．7D．8【解析】(1)S＝12bcsinA＝34bc＝103.∴bc＝40，又a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.解得a＝7.答案：C(2)在△ABC中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→.①求证：tanB＝3tanA.②若cosC＝55，求A的值．(2)①因为AB→·AC→＝3BA→·BC→，所以|AB→|·|AC→|·cosA＝3|BA→|·|BC→|cosB，所以ACcosA＝3BCcosB.由正弦定理知ACsinB＝BCsinA，从而sinBcosA＝3sinAcosB.又因为0A＋Bπ，所以cosA0，cosB0，所以tanB＝3tanA.②因为cosC＝55，0Cπ，所以sinC＝1－cos2C＝255，tanC＝2，则tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2.所以tanA＋tanB1－tanAtanB＝－2.由(1)得4tanA1－3tan2A＝－2，解得tanA＝1或tanA＝－13.因为cosA0，所以tanA＝1，所以A＝π4.状元随笔(1)条件为a＋b＋c＝20，和12bcsinA＝103；又a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，显然b＋c与bc建立了条件与待求之间的联系．(2)向量数量积等式其实质也是△ABC的边角关系，只要将边化角就可以了.方法归纳(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．(3)与向量有关的解三角形综合问题，解答时要明确向量的夹角与三角形内角的区别．跟踪训练3设函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(2cosx,1)，n＝(cosx，3sin2x)，x∈R.(1)求f(x)的单调递增区间．(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f(A)＝2，b＝1，△ABC的面积为32，求c的值．解析：(1)f(x)＝2cos2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin2x＋π6＋1.令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．(2)由f(A)＝2sin2A＋π6＋1＝2得sin2A＋π6＝12，而A∈(0，π)，所以2A＋π6∈π6，13π6，所以2A＋π6＝56π得A＝π3.又S△ABC＝12bcsinA，所以c＝2S△ABCbsinA＝31×32＝2.