2020版高中数学 第三章 概率 3.3.1 几何概型课件 新人教A版必修3

【课标要求】1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.知识导图学法指导1.判断一个概率模型是否为几何概型，必须要判断所给的试验中基本事件是否等可能发生，其个数是否无限．2．求解几何概型问题，对于几何度量(长度、角度、面积或体积)的选取必须注意，否则会造成错误的解答.知识点一几何概型的概念1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件________________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的两个特点(1)无限性：在一次试验中，基本事件有____个；(2)等可能性：在试验中，每一个基本事件发生的________相等．区域的长度(面积或体积)无数可能性状元随笔几何概型与古典概型的异同名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点①基本事件有有限个；②P(A)＝0⇔A为不可能事件；③P(B)＝1⇔B为必然事件①基本事件有无限个；②P(A)＝0⇐A为不可能事件；③P(B)＝1⇐B为必然事件知识点二几何概型的概率计算1．几何概型的概率计算公式P(A)＝_________________________________________＝dAdΩ.2．求解几何概型的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意选择的观察角度要保证基本事件的无限性及等可能性)；(2)把所有的基本事件转化为与之相对应的________；(3)把要求概率的随机事件A转化为与之相对应的________；(4)利用几何概型的概率计算公式求解．构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积区域D区域d状元随笔公式中的“长度”并不是实际意义的长度．有些书上也叫测度，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积．当试验全部结果所构成的区域长度一定时，A的概率只与构成事件A的区域长度有关，而与A的位置形式无关．[小试身手]1．判断下列各题是否为几何概型(是的打“√”，否则打“×”)(1)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到1的概率．()(2)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率．()(3)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率．()(4)向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1cm的概率．()×√√√2．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是()A.13B.12C.23D.79解析：此数不大于2的概率P＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.答案：C3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8解析：由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝半圆的面积长方形的面积＝12π2＝π4.故选B.答案：B4．在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，则含有麦锈病种子的概率为()A．0.1B．0.01C．0.001D．不确定解析：设事件A＝{10mL小麦种子中含有麦锈病种子}，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝101000＝0.01，所以10mL小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.答案：B类型一长度类几何概型例1在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．【解析】在AB上截取AC′＝AC，如图所示，则Ω＝{线段AB上的点}，设“AM小于AC”为事件N，则N＝{线段AC′上的点}．∴P(N)＝AC′AB＝ACAB＝22.1．确定基本事件集合：Ω＝{线段AB上的点}．2．找出要求概率的事件N包含的基本事件构成的集合：在AB上截取AC′＝AC，N＝{线段AC′上的点}．3．利用线段的长度比求概率.方法归纳在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．跟踪训练1已知函数f(x)＝log2x，在区间[12，2]上随机取一x0，则使得f(x0)≥0的概率为________．解析：f(x)＝log2x≥0可以得出x≥1，所以在区间12，2上使f(x)≥0的范围为[1,2]，所以使得f(x0)≥0的概率为P＝2－12－12＝23.答案：23类型二面积类几何概型例2四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8【解析】如图所示，长方形ABCD的面积为2，以点O为圆心，1为半径作圆，在矩形ABCD内的部分(半圆)的面积为π2，因此取到的点到点O的距离大于1的概率P＝2－π22＝1－π4.【答案】B取到的点到点O的距离大于1表示取到的点在以O为圆心，1为半径的圆外.方法归纳此类几何概型问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率．跟踪训练2如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝()A.4πB.1πC．2D.2π解析：豆子落在正方形EFGH内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH的边长是2，则正方形EFGH的面积是2，又圆的面积是π，所以P(A)＝2π.故选D.答案：D类型三体积类几何概型例3已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M－ABCD的体积不超过16(事件A)的概率．【解析】设M到平面ABCD的距离为h，则VM－ABCD＝13S底面ABCD·h≤16.又S底面ABCD＝1，所以只要h≤12即可．所有满足h≤12的点组成以正方形ABCD为底面，12为高的长方体，其体积为12.又正方体的体积为1，所以使四棱锥M－ABCD的体积不超过16(事件A)的概率为P(A)＝121＝12.先要确定使四棱锥M－ABCD体积不超过16的M点构成的几何体，再求体积之比.方法归纳体积类几何概型求解关键是确定所求概率的事件A对应的几何体的形状，并能正确地求出其体积．跟踪训练3在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．求蜜蜂落入第二实验区的概率．解析：记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B.依题意，P(A)＝V小锥体V圆锥体＝13·14·S圆锥底面·12h圆锥13·S圆锥底面·h圆锥＝18，∴P(B)＝1－P(A)＝78，∴蜜蜂落入第二实验区的概率为78.