2020版高中数学 第二章 统计 2.3 变量间的相关关系课件 新人教A版必修3

【课标要求】1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求回归直线方程.4.能利用回归方程由一个变量的变化去推测、估计另一个变量的变化.知识导图学法指导1.能够区分两个变量间存在的关系是函数关系还是相关关系，其中相关关系包括线性相关和非线性相关．2．能熟练依据两个变量的取值作出散点图，并能据图分析变量间的相关关系．3．会根据两个变量的样本点取值求回归直线方程，并会利用回归直线方程对总体进行估计和预测.知识点一变量间的相关关系1．相关关系如果两个变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的______，它们的关系是____的，我们称两个变量存在相关关系．2．相关关系与函数关系的异同(1)相同点：两者均是指两个____的关系．(2)不同点：①函数关系是一种________关系，而相关关系是一种________关系．②相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一般的情况．确定性随机变量确定性非确定性状元随笔具有相关关系的变量之间有一定的联系，但不能用函数表示，当一个变量取值一定时，另一个变量的取值不完全确定，而是带有一定的随机性．知识点二散点图1．散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．2．正相关与负相关．(1)正相关：散点图中的点散布在从______到______的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从______到______的区域．左下角右上角左上角右下角状元随笔(1)散点图形象地体现了各对数据的密切程度，因此我们可以根据散点图来判断两个变量有没有相关关系．(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势．知识点三线性相关与回归直线方程1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在________附近，就称这两个变量之间具有________关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程：________对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．一条直线线性相关回归直线3．回归方程的求解过程状元随笔(1)回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．(2)对于任意一组样本数据，利用最小二乘法公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的，因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．(3)回归直线一定能过样本点的中心(x－，y－)．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个变量要么具有确定的函数关系，要么具有线性相关关系．()(2)回归直线一定至少过散点图中的一个点．()(3)由回归直线方程求出的y^值都是准确值．()(4)对于方程y^＝b^x＋a^，x增加一个单位时，y平均增加b^个单位．()×××√2．下列图形中两个变量具有相关关系的是()解析：A、B为函数关系，D无相关关系．答案：C3．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程y^＝b^x＋a^必过点()A．(2,2)B．(1.5,0)C．(1,2)D．(1.5,4)解析：线性回归方程y^＝b^x＋a^必过样本中心(x－，y－)，x－＝1＋2＋34＝1.5，y－＝1＋3＋5＋74＝4.答案：D4．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2解析：设回归方程为y^＝b^x＋a^，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以b^0，a^0，因此方程可能为y^＝－1.5x＋2.答案：B类型一相关关系的判断例1若变量x，y有如下的观察数据：x151152153154156157158159160162163164y40414141.54242.5434445454645.5(1)画出散点图；(2)判断变量x，y是否具有线性相关关系，如果有，那么是正相关还是负相关？【解析】(1)画出散点图如图所示：(2)由图可知变量x，y具有线性相关关系．散点图中各点分布在从左下角到右上角的区域，所以它们具有正相关关系.状元随笔如果散点图中的点分布在一条直线附近，则两变量具有线性相关关系．再根据散点图的总体走向判断是正相关还是负相关．方法归纳判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．跟踪训练1下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重表：编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053判断所给的两个变量是否存在相关关系．解析：方法一根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．方法二观察表格数据可知，人的体重随着身高的增加而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．方法三以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图．如图所示：我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增加趋势．所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．类型二求线性回归方程例2某网店经营各种服装，在某周内获纯利润y(元)与该周平均每天销售服装的件数x之间的一组数据关系如下表：x3456789y66697381899091已知：i＝17x2i＝280，i＝17xiyi＝3487.(1)求x－，y－；(2)画出散点图；(3)观察散点图，若y与x线性相关，求纯利润y与平均每天销售件数x之间的回归直线方程．【解析】(1)x－＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y－＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597.(2)散点图如图所示．(3)观察散点图知，y与x线性相关．设回归直线方程为y^＝b^x＋a^.∵i＝17x2i＝280，i＝17xiyi＝3487，x－＝6，y－＝5597，∴b^＝3487－7×6×5597280－7×36＝13328＝4.75，a^＝5597－6×4.75≈51.36.∴回归直线方程为y^＝4.75x＋51.36.状元随笔(1)利用平均数公式计算；(2)在平面直角坐标系内画散点图；(3)应用计算公式求得线性相关系数b^，a^的值，得出回归直线方程．方法归纳求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)．(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．(3)把数据制成表格．(4)计算x－，y－，i＝1nx2i，i＝1nxiyi，(5)代入公式计算b^，a^，公式为b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.(6)写出回归直线方程y^＝b^x＋a^.跟踪训练2某种产品的广告费支出x(千万元)与销售额y(千万元)之间有如下对应数据：x24568y34657(1)画出散点图，判断变量x与y是否具有线性相关关系；(2)如果x与y具有线性相关关系，求回归直线方程．解析：(1)散点图如图．由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以广告费支出x与销售额y之间有线性相关关系．(2)设回归直线方程为y^＝b^＋a^x.列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i12345xi24568yi34657xiyi616303056x－＝5；y－＝5，i＝15x2i＝145；i＝15xiyi＝138于是可得b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝138－5×5×5145－5×52＝0.65，a^＝y－－b^x－＝5－0.65×5＝1.75.∴所求的回归直线方程是y^＝1.75＋0.65x.类型三线性回归方程的应用例3一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如表所示：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺损零件数y(个)11985(1)作出散点图；(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？【解析】(1)作散点图如图所示．(2)由散点图可知y与x线性相关故可设回归直线方程为y^＝b^x＋a^.依题意，用计算器可算得：x－＝12.5，y－＝8.25，i＝14x2i＝660，i＝14xiyi＝438.所以b^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a^＝y－－b^x－＝8.25－0.73×12.5＝－0.875所以所求回归直线方程为y^＝0.73x－0.875.(3)令y^≤10，得0.73x－0.875≤10，解得x≤14.9≈15.即机器的运转速度应控制在15转/秒内．状元随笔利用公式求出a^，b^的值，得出回归直线方程，利用回归方程估计有缺损的零件个数y^≤10时的转速x的范围．方法归纳一个回归分析问题一般有三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关：可利用经验，也可以画散点图．(2)求回归直线方程，注意运算的准确性．(3)根据回归直线进行预测：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．跟踪训练3提倡节约，反对浪费.2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)若y与x是线性相关的，求回归方程，否则请说明理由；(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：i＝110xiyi＝117.7，i＝110x2i＝406)解析：(1)散点图如图：由散点图可知，年收入越高，年饮食支出越高，图中点的趋势表明两个变量间确实存在着线性相关关系．依题意可计算得：x－＝6，y－＝1.83，x－2＝36，x－y－＝10.98，又因为i＝110xiyi＝117.7，i＝110x2i＝406，所以b^＝i＝110xiyi－10x－y－i＝110x2i－10x－2≈0.17，a^＝y－－b^x－＝0.81，所以y^＝0.17x＋0.81.所以所求的回归方程为y^＝0.17x＋0.81.(2)当x＝9时，y^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估计年收入为9万元的家庭，每年饮食支出约为2.34万元．