2020版高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的通项公式与递推公式课件 新人教A版必修5

知识点一数列的递推公式1．递推公式如果已知数列{an}的________________，且从第2项(或某一项)起的________与它的________________________(n≥2)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．2．递推公式的作用：可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项．第1项(或前几项)任一项an前一项an－1(或前几项)状元随笔(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值可以逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项或所需的项．(4)运用递推公式给出数列，可以揭示数列的一些性质，但不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它求出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性的数列．知识点二利用数列的通项公式判断单调性1．作差法：若an＋1－an0，(n∈N*)则{an}是____数列；若an＋1－an0，则{an}是____数列．2．作商法：若an＋1an1(an0，n∈N*)或an＋1an1(an0，n∈N*)，则{an}是____数列；若an＋1an1(an0，n∈N*)或an＋1an1(an0，n∈N*)，则{an}是____数列．3．函数法：若函数y＝f(x)是增(减)函数，则an＝f(n)是递增(减)数列．递增递减递增递减状元随笔若ak是数列{an}的最大(小)项，则ak≥ak－1ak≥ak＋1或ak≤ak－1ak≤ak＋1[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)所有数列都有递推公式．()(3)有些数列可能不存在最大项．()(4)数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝an－2，则a3＝－5.()√×√√2．已知数列{an}的通项公式是an＝n－1n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：∵an＝n＋1－2n＋1＝1－2n＋1，∴an＋1－an＝2n＋1－2n＋2＝2n＋1n＋20，∴{an}是递增数列．答案：A3．在数列{an}中，an＋1＝an1＋3an，a1＝2，则a4＝()A.165B.219C.85D.87解析：∵1an＋1＝3＋1an，∴1a2＝3＋12＝72，1a3＝3＋72＝1321a4＝3＋132＝192，∴a4＝219.答案：B4．已知数列{an}的通项公式为an＝411－2n，则满足an＋1an的n的取值为()A．3B．4C．5D．6解析：由an＋1an，得an＋1－an＝49－2n－411－2n＝89－2n11－2n0，解得92n112，又n∈N*，所以n＝5.答案：C类型一判断数列的单调性例1已知函数f(x)＝1－2xx＋1(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．(1)求证：an－2；(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？【解析】(1)因为f(x)＝1－2xx＋1＝3－2x＋1x＋1＝－2＋3x＋1，所以an＝－2＋3n＋1.因为n∈N*，所以an－2.(2)数列{an}为递减数列．理由如下：因为an＝－2＋3n＋1，所以an＋1－an＝－2＋3n＋2－－2＋3n＋1＝3n＋2－3n＋1＝－3n＋2n＋10即an＋1an,所以数列{an}为递减数列.先化简f(x)的解析式，再构造{an}，然后判断an＋1－an的符号．方法归纳用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号．跟踪训练1已知数列{an}的第n项可以表示为2n3n＋1，n∈N*，试判断数列的增减性．解析：因为{an}的第n项为2n3n＋1，所以{an}的第n＋1项为2n＋13n＋1＋1.因为2n＋13n＋1＋1－2n3n＋1＝2n＋23n＋4－2n3n＋1＝2n＋23n＋1－2n3n＋43n＋43n＋1＝6n2＋8n＋2－6n2－8n3n＋43n＋1＝23n＋43n＋10，所以2n＋13n＋1＋12n3n＋1，所以数列{an}的第n＋1项大于第n项，故数列{an}是递增数列．类型二数列的最大项、最小项问题例2已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．【解析】方法一：∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n×9－n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an.∴a1a2a3…a9＝a10a11a12…，∴该数列有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×10119.方法二：根据题意，令an－1≤anan≥an＋1即n×1011n－1≤n＋11011nn＋11011n≥n＋21011n＋1，解得9≤n≤10.又n∈N*，∴n＝9或n＝10.∴该数列有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×10119.状元随笔可以先判断{an}的单调性，再进一步判断是否有最大项；也可以先假设最大项存在，根据an≥an－1an≥an＋1求n的范围，看n是否有正整数解.方法归纳(1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等；此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件．(2)可以利用不等式组an－1≤anan≥an＋1，找到数列的最大项；利用不等式组an－1≥anan≤an＋1，找到数列的最小项．跟踪训练2已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×78n(n∈N*)，求数列{an}中的最大项．解析：方法一：an＋1an＝n＋3×78n＋1n＋2×78n＝7n＋38n＋2.令an＋1an1，解得n5；令an＋1an＝1，解得n＝5；令an＋1an1，解得n5.又an0，故有a1a2a3a4a5＝a6a7…，所以n＝5或6时，{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝7685.方法二：由an≥an－1，an≥an＋1，则n＋2×78n≥n＋1×78n－1，n＋2×78n≥n＋3×78n＋1，解得n≤6，n≥5，即5≤n≤6.故当n＝5或6时，{an}有最大项，且a5＝a6＝7685.类型三由递推公式求通项公式例3已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋1n＋1＋n(n≥2)，求an.【解析】因为an＝an－1＋1n＋1＋n(n≥2)，所以an－an－1＝1n＋1＋n＝n＋1－n，所以a1＝1，a2－a1＝3－2，a3－a2＝4－3，a4－a3＝5－4，…an－an－1＝n＋1－n.所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1＋(3－2)＋(4－3)＋(5－4)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－2＋1.当n＝1时a1＝1也适合上式，所以an＝n＋1－2＋1.状元随笔已知递推关系可以变为an－an－1＝1n＋1＋n，而1n＋1＋n又可以分母有理化变为n＋1－n，故依次取n＝2,3，…，n时所得各等式相加便可得到an的表达式.方法归纳1．由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式．(3)写出一个通项公式并证明．2．用“累加法”求数列的通项公式当an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项an.3．用“累乘法”求数列的通项公式当anan－1＝g(n)(n≥2)满足一定条件时，常用an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a2a1·a1累乘．跟踪训练3(1)本例中的条件“an＝an－1＋1n＋1＋n”改为“anan－1＝n＋1n－1”，其他条件不变，求an.(2)本例中的条件“an＝an－1＋1n＋1＋n”改为“lnan－lnan－1＝1”，其他条件不变，求an.解析：(1)因为a1＝1，且anan－1＝n＋1n－1(n≥2)，所以a2a1·a3a2·a4a3·…·an－1an－2·anan－1＝31·42·53·…·nn－2·n＋1n－1，即an＝nn＋12，经检验，n＝1时，a1＝1也满足上式，所以an＝nn＋12.(2)因为a1＝1，且lnan－lnan－1＝1(n≥2)，所以lna2－lna1＝1，lna3－lna2＝1，…，lnan－lnan－1＝1，以上各式相加可得lnan－lna1＝n－1，又lna1＝ln1＝0，所以lnan＝n－1，所以an＝en－1，经检验，n＝1时，a1＝1也满足上式，所以an＝en－1.