2020版高考数学一轮复习 小专题串方法（三）课件 文 新人教A版

第五篇数列(必修5)返回导航小专题串方法(三)数列六大解题技法数列是高中数学主要知识板块之一，数列试题中蕴含着丰富的数学思想方法，解答具有一定的技巧和方法，下面对解答数列题的主要技法作简要总结．返回导航整体使用数列性质(1)等比数列{an}的各项均为正数，且a2·a9＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于()(A)12(B)10C)8(D)2＋log35(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6S7S5，则满足SkSk＋10的正整数k＝________．思路点拨：(1)利用等比数列通项的性质；(2)整体利用等差数列前n项和公式．返回导航解析：(1)a1·a2·…·a10＝(a2a9)5＝310，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a2a9)5＝log3310＝10.故选B.(2)依题意a6＝S6－S50，a7＝S7－S60，a6＋a7＝S7－S50，返回导航则S11＝11（a1＋a11）2＝11a60，S12＝12（a1＋a12）2＝12（a6＋a7）20，S13＝13（a1＋a13）2＝13a70，所以S12S130，即满足SkSk＋10的正整数k＝12.答案：(1)B(2)12返回导航【方法总结】等差数列、等比数列的通项和求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．返回导航奇偶分类(1)在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过点B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2013＋a2014＋a2015等于()返回导航(A)1006(B)1007(C)1008(D)1009返回导航(2)(2018天津十二县区重点中学一联)若数列{an}的通项公式为an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－14（n＋1）log2anlog2an＋1，则数列{bn}的前n项和Tn＝________．思路点拨：(1)分别研究数列的奇数项和偶数项的规律；(2)分n为奇数和偶数分别求和．返回导航解析：(1)数列{an}的奇数项满足a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，…，可得a4k－3＝k，a4k－1＝－k；偶数项满足a2＝1，a4＝2，a6＝3，a8＝4，…，可得a2k＝k.所以a2013＋a2014＋a2015＝a4×504－3＋a2×1007＋a4×504－1＝504＋1007＋(－504)＝1007.故选B.返回导航(2)log2an＝2n＋1知，bn＝(－1)n－14（n＋1）log2anlog2an＋1＝(－1)n－14（n＋1）（2n＋1）（2n＋3），所以bn＝(－1)n－1(12n＋1＋12n＋3)，当n为偶数时，Tn＝(13＋15)－(15＋17)＋…＋(12n－1＋12n＋1)－(12n＋1＋12n＋3)＝13－12n＋3，返回导航当n为奇数时，Tn＝(13＋15)－(15＋17)＋…－(12n－1＋12n＋1)＋(12n＋1＋12n＋3)＝13＋12n＋3，所以Tn＝13－(－1)n12n＋3.答案：(1)B(2)13－(－1)n12n＋3返回导航【方法总结】当试题中涉及(－1)n、数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时，按照n为奇数和偶数分别求解，最后再整合求解结果．返回导航分裂通项(1)已知数列{an}的通项公式为an＝1（n＋1）n＋nn＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2016中，有理数项的项数为()(A)42(B)43(C)44(D)45返回导航(2)数列{an}的通项公式an＝13n－1，bn＝3nanan＋1，则数列{bn}的前n项和Tn＝________．思路点拨：把通项分解为两项的差，再消项求和．返回导航解析：(1)an＝1（n＋1）n＋nn＋1＝1n（n＋1）（n＋1＋n）＝n＋1－nn（n＋1）＝1n－1n＋1，所以Sn＝i＝1nai＝1－1n＋1.4422017452，所以[n＋1]min＝2，[n＋1]max＝44，即在数列S1，S2，…，S2016中共有43个有理项．故选B.返回导航(2)bn＝3n（3n－1）（3n＋1－1）＝12(13n－1－13n＋1－1)，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(131－1－132－1)＋(132－1－133－1)＋…＋(13n－1－13n＋1－1)]＝12(12－13n＋1－1)．答案：(1)B(2)12(12－13n＋1－1)返回导航【方法总结】裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项．裂项的基本原则是an＝f(n)－f(n＋1)，具体操作过程中可以采用乘以一个常数、变换通项的分子分母的方法进行．返回导航辅助数列已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列，则an＝________．思路点拨：求出a1，利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)，得出数列{an}满足的递推式，变换递推式构造辅助数列，求出辅助数列的通项公式后，再求数列{an}的通项公式．返回导航解析：由a1，a2＋5，a3成等差数列，可得a1＋a3＝2a2＋10，由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得2a1＋2a2＝a3－7，即2a2＝a3－7－2a1，代入a1＋a3＝2a2＋10，得a1＝1.又2a1＝2S1＝a2－22＋1，得a2＝5.由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减，得2an＝an＋1－an－2n，即an＋1＝3an＋2n，当n＝1时，5＝3×1＋21，也适合an＋1＝3an＋2n，所以对任意正整数n，有an＋1＝3an＋2n.返回导航上式两端同时除以2n＋1，得an＋12n＋1＝32·an2n＋12，两端同时加1，得an＋12n＋1＋1＝32·an2n＋32＝32an2n＋1，所以数列an2n＋1是首项为32，公比为32的等比数列，所以an2n＋1＝32n，所以an2n＝32n－1，，所以an＝3n－2n.答案：3n－2n返回导航【方法总结】由数列{an}的首项a1，及an＋1与an的关系给出的数列是最简单的递推数列，如数列{an}中已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，根据给出的初始值和递推关系就能唯一确定这个数列．在简单的递推数列中要特别注意如下几个类型．返回导航(1)an＋1＝pan＋q(p，q为常数)型：该类型是最常见的一类递推式，①当p＝1时，{an}为等差数列；②当p≠0，q＝0时，{an}为等比数列；③当p≠0，p≠1，q≠0时，如何求出其通项公式是一个难点，化解这类问题的思路是利用待定系数法，转化成等比数列，具体方法是将递推式转化为an＋1＋qp－1＝pan＋qp－1，此时数列an＋qp－1为等比数列，且首项为a1＋qp－1(不等于0)，公比为p.大多数递推数列问题最后往往化为这种类型．返回导航(2)an＋1＝banaan＋b(ab≠0，且a，b为常数)型：突破该类型数列的基本方法是“倒代换”，即将递推式变形为1an＋1－1an＝ab，得出数列1an是以1a1为首项，ab为公差的等差数列，从而求解．返回导航归纳推理(1)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2015＝________．(2)(2018湖北七市3月联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”．那么a21＋a22＋a23＋…＋a22015a2015是斐波那契数列中的第________项．返回导航思路点拨：(1)根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律；(2)逐个计算发现规律．返回导航解析：(1)由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，得a2＝a1＋cos2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos5π＝2－1＝1.…由上可知，数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，返回导航所以S2015＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＋a3＝503×(－2)＋0＝－1006.(2)a21a1＝1＝a2，a21＋a22a2＝2＝a3，a21＋a22＋a23a3＝3＝a4，a21＋a22＋a23＋a24a4＝5＝a5，归纳出a21＋a22＋a23＋…＋a22015a2015＝a2016.答案：(1)－1006(2)2016返回导航【方法总结】归纳推理的一个主要阵地就是数列，解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律．