2020版高考数学一轮复习 第一章 集合与简易逻辑 第1讲 集合及其运算课件 理 新人教A版

第1讲集合及其运算基础知识整合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或两种，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．□01确定性□02互异性□03无序性□04属于□05不属于□06∈□07∉□08列举法□09描述法□10图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号□11N□12N*(或N＋)□13Z□14Q□15R2．集合间的基本关系3．集合的基本运算1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.1．(2019·镇海中学模拟)设集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|y＝x2－1}，则下列结论正确的是()A．A＝BB．A⊆BC．B⊆AD．A∩B＝{x|x≥1}答案D答案解析∵A＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2－1}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴A∩B＝{x|x≥1}，故选D.解析2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3.∵x∈Z，∴x＝－1,0,1.当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，综上，A中元素共有9个，故选A.解析答案A答案3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0x2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|0x≤1}B．{x|0x1}C．{x|1≤x2}D．{x|0x2}解析∵∁RB＝{x|x1}，∴A∩(∁RB)＝{x|0x1}，故选B.解析答案B答案4．(2019·兰州诊断)已知集合A＝{x|x29}，B＝{x|2x1}，则A∪B＝()A．{x|x－3}B．{x|－3x3}C．{x|x0}D．{x|x－3或x0}解析由x29，得x3或x－3，A＝{x|x3或x－3}．又由2x1，解得x0，所以B＝{x|x0}．所以A∪B＝{x|x－3或x0}．故选D.解析答案D答案5．(2018·武汉模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|2x－x20}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B等于()A．{x|x2}B．{x|1x2}C．{x|x1}D．{x|x0}解析由2x－x20得0x2，故A＝{x|0x2}，由y＝ex＋1得y1，故B＝{y|y1}，所以A∪B＝{x|x0}．故选D.解析答案D答案6．(2018·武昌模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋100}，则A－B＝()A．{0,1}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{0,1,2,5}解析因为A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋100}＝{x|2x5}，A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，所以A－B＝{0,1,2,5}．故选D.解析答案D答案核心考向突破考向一集合的基本概念例1(1)(2019·辽宁模拟)已知集合A＝{y|y＝x2＋2x＋1}，B＝{x|y＝x2＋2x＋1}，则集合A与集合B的关系为()A．A＝BB．A∈BC．B⊆AD．AB答案D答案解析集合A表示二次函数y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2中y的取值范围，显然y≥0，即A＝{y|y≥0}；集合B表示函数y＝x2＋2x＋1中x的取值范围，易知x∈R，即B＝R，所以AB.故选D.解析(2)设集合A＝{x，x2，xy}，B＝{1，x，y}且A＝B，则实数x＝________，y＝________.解析∵A＝B，∴x2＝1，xy＝y或x2＝y，xy＝1，解得x＝1，y∈R或x＝－1，y＝0或x＝1，y＝1.当x＝1，y∈R时，A＝B＝{1,1，y}，不满足互异性，舍去；当x＝－1，y＝0时，A＝B＝{－1,1,0}，符合题意；当x＝y＝1时，A＝B＝{1,1,1}，不满足互异性，舍去．综上可知x＝－1，y＝0.解析答案－10答案触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(1)时要注意，集合A是函数值域构成的数集，集合B是函数定义域构成的数集．2本例2中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解.同时注意对元素互异性的检验.即时训练1.(2018·郑州模拟)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为()A．1B．3C．5D．7解析由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p－q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个．故选C.解析答案C答案2．设集合A＝5，ba，a－b，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝()A．{2,3}B．{－1,2,5}C．{2,3,5}D．{－1,2,3,5}答案D答案解析由A∩B＝{2，－1}，可得ba＝2，a－b＝－1或ba＝－1，a－b＝2.当ba＝2，a－b＝－1时，a＝1，b＝2，此时B＝{2,3，－1}，所以A∪B＝{－1,2,3,5}；当ba＝－1，a－b＝2时，a＝1，b＝－1，此时不符合题意，舍去．故选D.解析考向二集合间的基本关系例2(1)(2019·山东模拟)已知集合A＝xx－2x≤0，x∈N，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．4D．8解析由x－2x≤0得0x≤2，故A＝{1,2}；由x≤2得0≤x≤4，故B＝{0,1,2,3,4}．满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为23＝8.解析答案D答案(2)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析若B⊆A，则①当B＝∅时，有m＋12m－1，即m2，此时满足B⊆A；②当B≠∅时，有m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．解析答案(－∞，3]答案触类旁通1解本例1时，要能够将集合间的关系进行等价转化，转化为集合C中哪些元素必有，哪些元素可能有，不要忽略任何非空集合是它自身的子集.2已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.解题时要关注空集的特殊性，本例2中，易忽视B＝∅而误解.即时训练3.设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是()A．57B．56C．49D．8解析集合S的个数为26－23＝64－8＝56.解析答案B答案4．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值组成的集合C＝________.解析a＝0时，B＝∅，B⊆A；a≠0时，1a＝3或1a＝5，解得a＝13或a＝15，所以C＝0，13，15.解析答案0，13，15答案考向三集合的基本运算角度1集合间的交、并、补运算例3(1)(2019·海南模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝xx＋1x－40，那么集合A∩(∁UB)＝()A．{x|－2≤x4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x－1}D．{x|－1≤x≤3}答案D答案解析依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.解析(2)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝3－2x}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是()A.x32x≤3B.x32x3C.x32≤x2D.x32x2答案B答案解析由3－2x≥0，得x≤32，即M＝xx≤32；由2x0，得3－2x3，即N＝{y|y3}．因此图中阴影部分表示的集合是(∁UM)∩N＝x32x3.解析触类旁通集合的基本运算问题一般应注意的几点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．2对集合化简.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.3注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.即时训练5.设集合U＝R，A＝{x|x＝3k＋1，k∈N*}，B＝{x|x≤5，x∈Q}(Q为有理数集)，则图中阴影部分表示的集合是()A．{1,3,4,5}B．{2,4,5}C．{2,5}D．{1,2,3,4,5}答案B答案解析∵集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈N*}，∴A＝{2，7，10，13，4，19，22，5，…}．∵B＝{x|x≤5，x∈Q}，题中Venn图中的阴影部分表示A，B两集合的交集，又A∩B＝{2,4,5}，∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}．故选B.解析6．(2019·汕头模拟)已知集合P＝{x∈R|2(x－1)(x－3)≤1}，Q＝x∈Ry＝x2－43，则P∪(∁RQ)＝()A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案B答案解析因为P＝{x∈R|2(x－1)(x－3)≤1}，所以P＝{x∈R|(x－1)(x－3)≤0}，所以P＝{x∈R|1≤x≤3}．因为Q＝x∈Ry＝x2－43，所以Q＝{x∈R|x2≥4}，所以Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，所以P∪(∁RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.解析角度2利用集合运算求参数例4(1)(2019·广西模拟)设集合A＝{x|x(4－x)≥3}，B＝{x|xa}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．a≤1B．a1C．a≤3D．a3答案B答案解析由x(4－x)≥3解得1≤x≤3，即集合A＝{x|1≤x≤3}．因A∩B＝A，则A⊆B，而B＝{x|xa}，所以a1，故选B.解析(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－11答案解析由|x＋2|3，得－3x＋23，即－5x1，所以集合A＝{x|－5x1}．因为A∩B＝(－1，n)，所以－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，解得m＝－1.此时不等式(x＋1)(x－2)0的解集为－1x2，所以B＝(－1,2)．所以A∩B＝(－1,1)，即n＝1.解析触类旁通将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式组的解集相关.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解.本例1易忽视a≠1，而误选A.即时训练7.(2019·江西南昌模拟)已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3]