2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第9讲 离散型随机变量的均值

第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布基础知识整合1．离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的分布列为①均值称E(X)＝为随机变量X的均值或，它反映了离散型随机变量取值的□01x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn□02数学期望□03平均水平．②方差称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的，其为随机变量X的标准差．□04i＝1n[xi－E(X)]2pi□05平均偏离程度□06算术平方根DX(2)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝.②D(aX＋b)＝(a，b为常数)③两点分布与二项分布的均值、方差□07aE(X)＋b□08a2D(X)．2．正态分布(1)正态曲线的性质①曲线位于x轴，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为；□13上方□14x＝μ□15x＝μ□161⑤当σ一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．□17μ□18越小□19越大(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σX≤μ＋σ)＝；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝.□200.6826□210.9544□220.99741．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．2．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位．3．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．1．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)()A．60.82元B．68.02元C．58.82元D．60.28元解析E(ξ)＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82，所以选A.解析答案A答案2．(2019·海南海口模拟)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)＝0.5，P(X2)＝0.3，则P(X0)＝()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8解析随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(Xa)＝0.5.由P(X1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X0)＝P(X2)＝0.3.故选B.解析答案B答案3．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝()A．1B．5C．2D.167解析由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为17，27，27，17，17，∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×17＝5.故选B.解析答案B答案4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝()A.185B.215C．4D.245解析由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝C33C35＝110，P(X＝4)＝C23·C12C35＝35，P(X＝5)＝C13·C22C35＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215.解析答案B答案5．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案20，2003答案解析记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B3，23，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×23＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3×23×13＝2003.解析6．已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.答案51214答案解析由EX＝0，DX＝1，∑Pi＝1⇒－a＋c＋16＝0，a＋c＋13＝1，a＋b＋c＋112＝1⇒a＝512，b＝14，c＝14.解析核心考向突破考向一离散型随机变量的均值与方差角度1与古典概型有关的均值与方差例1盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解(1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C24＋C23＋C22C29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝C44C49＝1126；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，答案故P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝20＋6126＝1363；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X的概率分布如下表：因此，随机变量X的数学期望E(X)＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.答案触类旁通求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.即时训练1.(2019·江西师大附中模拟)已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．解(1)3名学生选择的选修课所有不同选法有43＝64种；各人互不相同的选法有A34种，故互不相同的概率P＝A3443＝38.(2)选修课A被这3名学生选修的人数X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝3242＝916，P(X＝1)＝342＝316，P(X＝2)＝342＝316，P(X＝3)＝142＝116.答案所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×916＋1×316＋2×316＋3×116＝34.答案角度2与二项分布有关的期望与方差例2张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)＝C03×123＋C13×12×122＝12.所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝1－34×1－35＝110，P(X＝1)＝34×1－35＋1－34×35＝920，答案P(X＝2)＝34×35＝920.随机变量X的分布列为E(X)＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B3，12，所以E(Y)＝3×12＝32.因为E(X)E(Y)，所以选择L2路线上班最好．答案触类旁通求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～Bn，p，则用公式EX＝np，DX＝np1－p求解，可大大减少计算量.即时训练2.(2019·湖南长沙模拟)某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数ξ～N(127,72)．(1)求该校此次数学考试的平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是14，若本学期有4次考试，X表示进入前100名的次数，写出X的分布列，并求期望与方差．解(1)由不同成绩段的人数服从正态分布ξ～N(127,72)，可知平均成绩μ＝127.(2)P(ξ141)＝P(ξ127＋2×7)＝12×[1－P(μ－2σξ≤μ＋2σ)]≈0.023，故141分以上的人数为1000×0.023＝23(人)．(3)X的可能取值为0,1,2,3,4，P(X＝0)＝344＝81256，P(X＝1)＝C14141343＝2764，P(X＝2)＝C24142342＝27128，答案P(X＝3)＝C34143341＝364，P(X＝4)＝144＝1256，故X的分布列为期望E(X)＝4×14＝1，方差D(X)＝np(1－p)＝4×14×34＝34.答案考向二均值与方差的实际应用例3(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220·p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.答案(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)400，故应该对余下的产品作检验．答案触类旁通均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用DX来描述X的分散程度．2随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.即时训练3.(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服