2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第7讲 离散型随机变量及分布

配套课时作业1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于()A.13B.16C.12D.56答案D答案解析由分布列的性质，得a＋13＋16＝1，所以a＝12.而x∈[1,2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.解析2．(2019·银川质检)若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．－0.2C．0.8D．－0.8答案B答案解析易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，所以a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.解析3．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝k15，k＝1,2,3,4,5，令Y＝2X－2，则P(Y0)＝()A.715B.815C.1115D.1415解析由已知Y取值为0,2,4,6,8，且P(Y＝0)＝115，P(Y＝2)＝215，P(Y＝4)＝315＝15，P(Y＝6)＝415，P(Y＝8)＝515＝13.则P(Y0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝1415.解析答案D答案4．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.C35C14C45B.593×49C.35×14D．C14×593×49解析由题意知，第4次取球后停止是当且仅当前3次取的球是黑球，第4次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为593×49.解析答案B答案5．一个坛子里装有编号为1,2,3，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取2个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.122B.111C.322D.211解析一类是取到2球号码均为偶数且是红球，有C23种取法；另一类是取到2球号码为一奇一偶且2球为红球，有C13C13种取法．因此所求的概率P＝C23＋C13C13C212＝211.解析答案D答案6．从1,2,3，…，9这9个自然数中任取3个数，设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝()A.13B.512C.12D.23答案D答案解析随机变量ξ的取值为0,1,2，ξ的分布列为所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.解析7．(2019·江西赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为()答案C答案解析随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝C24C35＝35，P(ξ＝2)＝C23C35＝310，P(ξ＝3)＝C22C35＝110.故选C.解析8．(2019·河北唐山模拟)甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是()A.29B.49C.23D.79解析甲不跑第一棒共有A13·A33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A12·A12·A22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.解析答案D答案9．某班举行了一次“心有灵犀”活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则他们的得分之和X的数学期望为()A．0.9B．0.8C．1.2D．1.1答案A答案解析由题意，X＝0,1,2，则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.故选A.解析10．如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576答案B答案解析A1，A2不能同时工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.解析11．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312解析3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.解析答案A答案12．已知0a12，随机变量ξ的分布列如下：当a增大时，则()A．E(ξ)增大，D(ξ)增大B．E(ξ)减小，D(ξ)增大C．E(ξ)增大，D(ξ)减小D．E(ξ)减小，D(ξ)减小答案B答案解析由题意知，E(ξ)＝－2×a＋0×12－a＋2×12＝1－2a，D(ξ)＝(2a－3)2×a＋(2a－1)2×12－a＋(1＋2a)2×12＝－4a2＋8a＋1＝－4(a－1)2＋5.因为0a12，所以当a增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大．故选B.解析13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.解析ξ的可能取值为0,1,2,3，所以P(ξ＝2)＝C13C12C14＋C23C22C24C26＝2790＝310.解析答案310答案14．(2019·大连模拟)一个袋子里有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取3个球恰好有2个球同色的概率为________．解析记A＝{取出的3个球中恰好有2个白球}，B＝{取出的3个球中恰好有2个黑球}，C＝{取出的3个球中恰好有2个红球}，则P(A)＝C22C17C39＝112，解析答案5584答案P(B)＝C23C16C39＝314，P(C)＝C24C15C39＝514.A，B，C三个事件两两互斥，则P(取出的3个球中恰好有2个球同色)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝112＋314＋514＝5584.解析15．一盒产品中有9件正品和3件次品，若每次取1件产品，取出后不再放回，则在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E(ξ)＝________.答案0.3答案解析由题意，可知ξ的取值为0,1,2,3，并且有P(ξ＝0)＝C19C112＝34，P(ξ＝1)＝C13C19C112C111＝944，P(ξ＝2)＝C13C12C19C112C111C110＝9220，P(ξ＝3)＝C13C12C11C19C112C111C110C19＝1220，从而E(ξ)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝0.3.解析16．随机变量ξ的分布列如下表：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．答案59答案解析由题意，可得－1·a＋0·b＋1·c＝13，a＋b＋c＝1，2b＝a＋c，解得a＝16，b＝13，c＝12，∴D(ξ)＝－1－132×16＋0－132×13＋1－132×12＝59.解析17．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，答案P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.则随机变量X的分布列是故随机变量X的数学期望E(X)＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.答案18．(2019·成都模拟)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2道题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，则P(A)＝C14C22C36＝420＝15，P(B)＝1－233＋C231－232231＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－15×727＝128135.答案(2)由题知ξ的可能取值是1,2.P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12＋C34C36＝45，则ξ的分布列为答案19．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名同学的数学成绩(单位：分)，按[90,100)，[100,110)，…，[140,150]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：(1)求m的值，并且计算这50名同学数学成绩的平均数x－；(2)该学校为制订下阶段的复习计划，从成绩在[130,150]内的同学中选出3名作为代表进行座谈，记这3人中成绩在[140,150]内的同学人数为ξ，写出ξ的分布列，并求出数学期望．解(1)由题意知(0.004＋0.012＋0.024＋0.040＋0.012＋m)×10＝1，解得m＝0.008，则x－＝95×0.004×10＋105×0.012×10＋115×0.024×10＋125×0.040×10＋135×0.012×10＋145×0.008×10＝121.8(分)．(2)成绩在[130,140)内的同学人数为6，在[140,150]内的同学人数为4，从而ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C04C36C310＝16，P(ξ＝1)＝C14C26C310＝12，答案P(ξ＝2)＝C24C16C310＝310，P(ξ＝3)＝C34C06C310＝130，所以ξ的分布列为E(ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.答案20．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．解设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C13C24C37＝1835.(2)X的所有可能的值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C