2020版高考数学一轮复习 第十篇 概率 第2节 古典概型与几何概型课件 文 新人教A版

第十篇概率(必修3)返回导航第2节古典概型与几何概型最新考纲1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．4．了解几何概型的意义.返回导航【教材导读】1．古典概型的特点是什么？提示：基本事件个数有限、每个基本事件发生的可能性相同．2．几何概型的特点是什么？提示：基本事件个数无限，每个基本事件发生的可能性相同．返回导航1．古典概型(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．返回导航(2)古典概型①定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．a．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；b．每个基本事件出现的可能性相等．②计算公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.返回导航2．几何概型(1)定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.返回导航1．从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()(A)16(B)13(C)12(D)23返回导航B解析：依题意，从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成的两位数有12，13，23，21，31，32，共6个，其中大于30的两位数有31，32，共2个，因此所求的概率等于26＝13.返回导航2．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()返回导航(A)p1＝p2(B)p1＝p3(C)p2＝p3(D)p1＝p2＋p3返回导航A解析：∵S△ABC＝12AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为12π·AB22＝π8AB2，以AC为直径的半圆的面积为12π·AC22＝π8AC2，以BC为直径的半圆的面积为12π·BC22＝π8BC2，返回导航∴SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC，SⅡ＝π8AB2＋π8AC2－π8BC2－12AB·AC＝12AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝SⅠS总，p2＝SⅡS总.∴p1＝p2.故选A.返回导航3．投掷两颗相同的正方体骰子一次，两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．答案：19返回导航4．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－10”发生的概率为________．解析：由题意知0≤a≤1，事件“3a－10”发生时，a13且a≤1，即a∈(13，1]．所以所求事件的概率为P＝1－131＝23.答案：23返回导航5．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为1的扇形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，则击中阴影部分的概率是________．返回导航解析：根据题意，图中正方形的面积为2×2＝4，图中阴影部分的面积为4－4×14×π×12＝4－π，则击中阴影部分的概率为P＝4－π4＝1－π4.答案：1－π4返回导航考点一古典概型某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．返回导航返回导航下表是年龄的频数分布表.区间[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50]人数25ab①求正整数a，b，N的值；②现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？③在②的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．返回导航解析：①由题的频率分直方图可知，a＝25，且b＝25×0.080.02＝100，总人数N＝250.02×5＝250.②因为第1，2，3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，每组抽取的人数分别为：返回导航第1组的人数为6×25100＝1(人)，第2组的人数为6×25150＝1(人)，第3组的人数为6×100150＝4(人)，所以第1，2，3组分别抽取1人、1人、4人，返回导航③由②可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15种．其中恰有1人在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8种，所以恰1人在3组的既率为815.返回导航【反思归纳】解古典概型题的关键是求出基本事件的总数，以及随机事件含有的基本事件个数，解题中要注意分类、分步，全面考虑各种可能，必要时利用对立事件概率之间的关系从反面求解．返回导航【即时训练】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．返回导航解析：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．返回导航设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)＝327＝19，因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89，返回导航因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.答案：(1)19(2)89返回导航考点二几何概型(1)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.①若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；②若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．返回导航(2)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5：00－6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30－6：00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于________．返回导航(1)解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.①基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.返回导航②试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.返回导航(2)如图所示，轴表示快递员送货的试卷，轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为所有可能的时间组合，阴影部分为满足小李需要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率：p＝12×（1＋2）×11×2＝34.返回导航返回导航【反思归纳】解答几何概型试题要善于根据这些特点寻找基本事件所在线、面、体，寻找随机事件所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算．返回导航【即时训练】在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率；(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．返回导航解析：(1)如图所示，在AB上取一点C′，使AC′＝AC，连接CC′.由题意，知AB＝2AC.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(AM＜AC)＝AC′AB＝AC2AC＝22.返回导航(2)由于在∠ACB内作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB，所以P(AM＜AC)＝∠ACC′∠ACB＝π－π42π2＝34.返回导航考点三古典概型与几何概型的综合已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.返回导航(1)求n的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．返回导航解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为nn＋2＝12，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0，1)，(0，2)，(0，2)，(1，2)，(1，2)，(2，2)，(1，0)，(2，0)，(2，0)，(2，1)，(2，1)，(2，2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝812＝23.返回导航②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{x，y|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得概率为P＝22－14π·2222＝1－π4.返回导航【反思归纳】区分问题是几何概型还是古典概型是解题的关键，其共同的特征是基本事件发生的可能性相同，不同点是“几何概型中基本事件个数是无限的”、“古典概型中基本事件个数是有限的”．返回导航【即时训练】城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如下表所示：返回导航组别候车时间人数一[0，5)2二[5，10)6三[10，15)4四[15，20)2五[20，25)1返回导航(1)求这15名乘客的平均候车时间；(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．返回导航解：(1)115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)