2020版高考数学一轮复习 第十二章 算法初步 第5讲 数学归纳法配套课时作业课件 理 新人教A版

配套课时作业1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－112764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－12＝2－12n－1，代入验证可知n的最小值是8.故选B.解析答案B答案2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对解析本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．解析答案B答案3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2答案D答案解析f(n＋1)－f(n)＝1n＋1＋1＋1n＋1＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋1－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12n＋1－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.故选D.解析4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋14＋4k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2答案D答案解析当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2；当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，所以当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.故选D.解析5．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论中正确的是()A．P(n)对n∈N*成立B．P(n)对n4且n∈N*成立C．P(n)对n4且n∈N*成立D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立答案D答案解析由题意可知，P(n)对n＝3不成立(否则n＝4也成立)，同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立，故选D.解析6．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析∵f(k＋1)－f(k)＝12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k－1.∴增加了2k项．解析答案D答案7．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案D答案解析分母n，n＋1，n＋2，…，n2构成以n为首项，1为公差的等差数列，项数为n2－n＋1，所以f(n)中共有n2－n＋1项，f(1)＝1，f(2)＝12＋13＋14.解析8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．解析答案A答案9．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1答案C答案解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋nn＋12＝n2＋n＋22个区域．解析10．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n2n2＋13，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加()A．k2B．(k＋1)2C．k2＋(k＋1)2＋k2D．(k＋1)2＋k2解析当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，故选D.解析答案D答案11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)答案A答案解析因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．解析12．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)”(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边的式子之比是()A.12k＋1B.2k＋3k＋1C.2k＋1k＋1D.122k＋1答案D答案解析当n＝k时，左边为(k＋1)(k＋2)·…·2k，当n＝k＋1时，左边为(k＋2)(k＋3)·…·2k(2k＋1)(2k＋2)，所以从“n＝k到n＝k＋1”时，左边的式子之比是k＋1k＋2·…·2kk＋2k＋3·…·2k2k＋12k＋2＝k＋12k＋12k＋2＝122k＋1，故选D.解析13．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．解析当n＝1时，21＝2＝12＋1，当n＝2时，22＝422＋1＝5，当n＝3时，23＝832＋1＝10，当n＝4时，24＝1642＋1＝17，当n＝5时，25＝3252＋1＝26，当n＝6时，26＝6462＋1＝37，故起始值n0应取5.解析答案5答案14．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋12k＋2，故填12k＋12k＋2.解析答案12k＋12k＋2答案15．若数列{an}的通项公式an＝1n＋12，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.答案n＋2n＋1答案解析c1＝2(1－a1)＝2×1－14＝32，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×1－14×1－19＝43，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×1－14×1－19×1－116＝54，故由归纳推理得cn＝n＋2n＋1.解析16．已知正整数对按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．答案(5,7)答案解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个正整数n(n≥2)所对应的数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴n－1n2＝60.∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，即12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．解析17．证明：1－(x＋3)n(n∈N*)能被x＋2整除．证明(1)当n＝1时，1－(x＋3)＝－(x＋2)，能被x＋2整除；(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即1－(x＋3)k能被x＋2整除，则可设1－(x＋3)k＝(x＋2)f(x)(其中f(x)为k－1次多项式)．当n＝k＋1时，1－(x＋3)k＋1＝1－(x＋3)(x＋3)k＝(x＋3)[1－(x＋3)k]－(x＋2)＝(x＋3)(x＋2)f(x)－(x＋2)＝(x＋2)[(x＋3)f(x)－1]能被x＋2整除，所以，当n＝k＋1时，命题仍然成立．由(1)(2)可知，对于∀n∈N*命题成立．答案18．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝12×1×2×1＋2＝18.右边＝14×1＋1＝18.左边＝右边，所以等式成立．答案(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1，则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知对于一切n∈N*等式都成立．答案19．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－12n＋12均成立．证明(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.∵左边右边，∴不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋131＋15·…·1＋12k－12k＋12.答案则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3·2k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．答案20．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝158.由此猜想an＝2n－12n－1(n∈N*)．答案(2)证明：①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝2k－12k－1，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，答案∴ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，这表明n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想an＝2n－12n－1(n∈N*)成立．答案