2020版高考数学一轮复习 第十二章 算法初步 第5讲 数学归纳法课件 理 新人教A版

第5讲数学归纳法基础知识整合1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取时命题成立，这一步是为归纳奠基．(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．□01第一个值n0□02n＝k＋12．数学归纳法的框图表示数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，左端计算所得的结果是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C.解析答案C答案2．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明()A．n＝k＋1时命题成立B．n＝k＋2时命题成立C．n＝2k＋2时命题成立D．n＝2(k＋2)时命题成立解析因n是正偶数，故只需证命题对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋2，故选B.解析答案B答案3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0解析凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.解析答案C答案4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.解析答案B答案5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．解析答案2k＋1答案6．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝n3n＋12(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．解析n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.解析答案3k＋2答案核心考向突破考向一数学归纳法证明恒等式例1用数学归纳法证明：11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．答案(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．答案触类旁通利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．2注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切勿忘记归纳结论.即时训练1.求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，答案1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋1.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知对一切n∈N*，等式成立．答案考向二数学归纳法证明不等式例2求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋1656，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k56.当n＝k＋1时，答案1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋156＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋156＋3×13k＋3－1k＋1＝56.∴当n＝k＋1时不等式也成立．∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．答案触类旁通用数学归纳法证明不等式的两种形式用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，第二种形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，然后猜出从某个n值开始都成立的结论．即时训练2.用数学归纳法证明：11×2＋12×3＋…＋1nn＋1n(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，显然不等式成立．当n＝2时，左边＝11×2＋12×3＝3＋16，右边＝2.由3＋123，得3＋162，即n＝2时，不等式也成立．答案(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即11×2＋12×3＋…＋1kk＋1k.当n＝k＋1时，两边同加1k＋1k＋2，得11×2＋12×3＋…＋1k＋1k＋2k＋1k＋1k＋2，答案只需证k＋1k＋1k＋2k＋1即可．而k＋1－k1k＋1k＋2⇔1k＋1＋k1k＋1k＋2⇔k＋1k＋2k＋1＋k⇔k＋1(k＋2－1)k，∴对k≥2成立，即当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，不等式对n∈N*都成立．答案考向三归纳—猜想—证明例3(2019·杭州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)依题意有S1＝a1＝2a2－3－4，S2＝a1＋a2＝4a3－12－8，S3＝a1＋a2＋a3＝15，解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)猜测an＝2n＋1.由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，得Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)(n≥2)，两式相减，整理得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1，an＋1＝2n－12nan＋6n＋12n，建立an与an＋1的递推关系(n∈N*)；答案因为当n＝1时，a1＝3，假设n＝k时成立，即ak＝2k＋1成立，那么n＝k＋1时，ak＋1＝2k－12kak＋6k＋12k＝2k－12k·(2k＋1)＋6k＋12k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，综上对于n∈N*，有an＝2n＋1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.答案触类旁通“归纳—猜想—证明”的一般步骤(1)计算(根据条件，计算若干项)．2归纳猜想通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论.3证明用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳猜想出结论.即时训练3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝an2＋1an－1且an0，n∈N*.求a1，a2，a3，猜想{an}的通项公式并证明．解当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，a21＋2a1－2＝0.∴a1＝3－1(a10)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0.∴a2＝5－3(a20)．同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N*)．答案(1)当n＝1,2,3时，通项公式成立．(2)假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式并整理，得a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0.答案解得ak＋1＝2k＋3－2k＋1(an0)．即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由(1)和(2)，可知对所有n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立．答案