2020版高考数学一轮复习 第十二章 算法初步 第4讲 直接证明与间接证明课件 理 新人教A版

第4讲直接证明与间接证明基础知识整合1.直接证明2.间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明的证明方法．(2)利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．□05假设错误□06原命题成立分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．1.要证明3＋725，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B．分析法C．反证法D．归纳法解析从要证明的结论——比较两个无理数的大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法．故选B.解析答案B答案2.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c中至多有一个偶数D.假设a，b，c中至多有两个偶数解析“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”．故选B.解析答案B答案3.若ab0，且x＝a＋1b，y＝b＋1a，则()A.xyB．xyC．x≥yD．x≤y解析因为a＋1b－b＋1a＝(a－b)1＋1ab0.所以a＋1bb＋1a.故选A.解析答案A答案4．若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A．ac2bc2B．a2abb2C.1a1bD.baab解析∵a2－ab＝a(a－b)，ab0，∴a－b0，a2－ab0，∴a2ab.①又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，②由①②得a2abb2.解析答案B答案5．(2019·扬州调研)设ab0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析解法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得mn.解法二：(分析法)a－ba－b⇐b＋a－ba⇐ab＋2b·a－b＋a－b⇐2b·a－b0，显然成立．解析答案mn答案6．已知实数m，n满足mn0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________．解析∵mn0，m＋n＝－1，∴m0，n0，∴1m＋1n＝－(m＋n)1m＋1n＝－2＋mn＋nm≤－2－2mn·nm＝－4，当且仅当m＝n＝－12时，1m＋1n取得最大值－4.解析答案－4答案核心考向突破考向一综合法证明例1已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x＝cos2y.证明∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，∴sinθ＋cosθ＝2sinx，①sinθcosθ＝sin2y,②①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即4sin2x－2sin2y＝1.∴4×1－cos2x2－2×1－cos2y2＝1，即2－2cos2x－(1－cos2y)＝1.故证得2cos2x＝cos2y.答案触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的正确判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.即时训练1.已知f(x)＝12x＋2，证明：f(x)＋f(1－x)＝22.证明∵f(x)＝12x＋2，∴f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12x＋2＋2x2＋2·2x＝22＋2·2x＋2x2＋2·2x＝2＋2x2＋2·2x＝2＋2x22＋2x＝12＝22.故f(x)＋f(1－x)＝22成立．答案考向二分析法证明例2已知：a0，b0，a＋b＝1.求证：a＋12＋b＋12≤2.证明要证a＋12＋b＋12≤2，只需证a＋12＋b＋12＋2a＋12b＋12≤4，又a＋b＝1，故只需证a＋12b＋12≤1，答案只需证a＋12b＋12＝ab＋12(a＋b)＋14≤1，只需证ab≤14.因为a0，b0,1＝a＋b≥2ab，所以ab≤14，故原不等式成立当且仅当a＝b＝12时取等号.答案触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．2证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价或充分的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证.即时训练2.已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1.求证：a＋b＋c≤3.证明欲证a＋b＋c≤3，则只需证(a＋b＋c)2≤3，即证a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3，即证ab＋bc＋ac≤1.又ab＋bc＋ac≤a＋b2＋b＋c2＋a＋c2＝1，当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”．∴原不等式a＋b＋c≤3成立．答案考向三反证法证明角度1证明否定性命题例3已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.答案(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar(pqr，且p，q，r∈N*)，则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为pqr，所以r－q，r－p∈N*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．答案角度2证明存在性问题例4设x，y，z0，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，求证：a，b，c三数至少有一个不小于2.证明假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c6.而事实上a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6(当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”)与a＋b＋c6矛盾，∴a，b，c中至少有一个不小于2.答案角度3证明唯一性命题例5已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.答案触类旁通反证法的适用范围及证明的关键(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．2关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.即时训练3.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)，得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，所以(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.答案因为p，q，r∈N*，所以q2－pr＝0，2q－p－r＝0，所以p＋r22＝pr⇒(p－r)2＝0.所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．答案4．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.证明证法一：假设三式同时大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，因为a，b，c∈(0,1)，所以三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a164.又(1－a)a≤1－a＋a22＝14，答案同理(1－b)b≤14，(1－c)c≤14，所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤164，这与假设矛盾，故原命题正确．证法二：假设三式同时大于14，因为0a1，所以1－a0，1－a＋b2≥1－ab14＝12，答案同1－b＋c212，1－c＋a212，三式相加得3232，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题正确．答案5．已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明：方程f(x)＝0没有负数根．证明(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1x2，则x2－x10.∵a1，∴ax2－x11且ax10，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)0.又∵x1＋10，x2＋10，答案∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝x2－2x1＋1－x1－2x2＋1x1＋1x2＋1＝3x2－x1x1＋1x2＋10.于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．答案(2)假设存在x00(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1.∵a1，∴0ax01，∴0－x0－2x0＋11，即12x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．答案