2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系配套课时作业课件

配套课时作业1．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆x24＋y23＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．1或2答案C答案解析由题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by－3＝0的距离为3a2＋b23，所以a2＋b23.又a，b不同时为零，所以0a2＋b23.由0a2＋b23，可知|a|3，|b|3，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为3，所以P(a，b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆x24＋y23＝1的公共点有2个，故选C.解析2．(2018·江西九江模拟)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，BC→＝λFB→，则λ的值为()A.34B.32C.3D．3答案D答案解析设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝42，直线AB的方程为y＝22(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－82)，联立方程y2＝8x，y＝22x－2，解得B(1，－22)，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.解析3．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0tb)．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为()A.32B.22C.12D.33答案A答案解析如图，连接EF1，PF1，则|EF1|＝|EF2|，所以△PEF2的周长l＝|PE|＋|EF2|＋|PF2|＝|PE|＋|EF1|＋|PF2|，因为|PE|＋|EF1|≥|PF1|，所以△PEF2的周长l≥|PF1|＋|PF2|，因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以l≥2a，因为△PEF2的周长的最小值为4b，所以2a＝4b，即a＝2b，所以c2＝a2－b2＝3b2，所以c＝3b，所以椭圆C的离心率e＝ca＝32，故选A.解析4．若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是()A．1B．2C．3D．4答案B答案解析设过点(3,1)的直线交抛物线y2＝2px(p0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝2px1，①y22＝2px2.②由①－②得y21－y22＝2p(x1－x2)，即y1－y2x1－x2＝2py1＋y2，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝2py1＋y2＝2，所以p＝y1＋y2＝2.解析5．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝23，则直线l过定点()A．(－3,0)B．(0，－3)C．(3,0)D．(0,3)答案A答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝23，所以y1x1·y2x2＝23.又y21＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．解析6．(2019·榆林调研)已知抛物线y2＝2px(p0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线交于点M(1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于()A．3B．4C.3D．2答案A答案解析点M到抛物线焦点的距离为p2＋1＝3⇒p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x，∴m2＝8.双曲线的渐近线方程为y＝±bax，两边平方得y2＝±ba2x2，把M(1，m)代入上式得8＝ba2，∴双曲线的离心率e＝1＋ba2＝3.解析7．(2019·郑州测试)已知抛物线x2＝8y与双曲线y2a2－x2＝1(a0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为()A．5x±3y＝0B．3x±5y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0答案B答案解析设点M(x0，y0)，则有|MF|＝y0＋2＝5，y0＝3，x20＝24，由点M(x0，y0)在双曲线y2a2－x2＝1上，得y20a2－x20＝1，9a2－24＝1，a2＝925，所以双曲线y2a2－x2＝1的渐近线方程为y2a2－x2＝0，即3x±5y＝0，选B.解析8．已知抛物线y2＝16x，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，若|AM|＝|BM|，则直线l的方程是()A．y＝8x＋15B．y＝8x－15C．y＝6x－11D．y＝5x－9答案B答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，代入抛物线方程得y21＝16x1，y22＝16x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，即y1－y2x1－x2＝16y1＋y2，又y1＋y2＝2，所以kAB＝y2－y1x2－x1＝8，故直线l的方程为y＝8x－15.解析9．(2019·福建调研)已知椭圆：x24＋y2b2＝1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是()A．1B.2C.32D.3答案D答案解析由已知及椭圆的定义，得a＝2，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8，所以当线段AB的长度取最小值时，|BF2|＋|AF2|有最大值．当AB垂直于x轴时，|AB|min＝2×b2a＝2×b22＝b2，所以|BF2|＋|AF2|的最大值为8－b2＝5，所以b2＝3，即b＝3，故选D.解析10．(2019·江西六校联考)过双曲线x2－y2b2＝1(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2AB→＝BC→，则该双曲线的离心率为()A.10B.103C.5D.52答案C答案解析由题意可知，左顶点A(－1,0)．又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则b≠±1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－1b＋1，xC＝1b－1.由2AB→＝BC→，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2×－1b＋1＋1＝1b－1－－1b＋1，得b＝2，故e＝12＋221＝5.解析11．(2019·广西联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点M的坐标是(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55答案C答案解析设直线x－y＋5＝0与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4，1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1＝1.由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得，x1＋x2x1－x2a2＋y1＋y2y1－y2b2＝0，所以y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2，所以b2a2＝14，于是椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝32，故选C.解析12．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.32B．3C．23D．4答案B答案解析由题意分析知，∠FON＝30°.所以∠MON＝60°，又因为△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，FM＝12OF＝1，所以|MN|＝3.故选B.解析13．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.答案3答案解析由题意，知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×2b2＝b2＝9，∴b＝3.解析14．(2019·大同质检)已知抛物线y2＝16x的准线过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，则该双曲线的标准方程是________．答案x24－y212＝1答案解析∵抛物线y2＝16x的准线x＝－4过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，∴c＝4.又双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，可得b＝3a，又c＝a2＋b2＝4，∴a＝2，b＝23，∴所求双曲线的标准方程为x24－y212＝1.解析15．(2017·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________________．答案(x＋1)2＋(y－3)2＝1答案解析由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C的纵坐标为3.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.解析解析16．(2018·北京高考)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，双曲线N：x2m2－y2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．答案3－12答案解析由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋3c，再根据椭圆定义得c＋3c＝2a，所以椭圆M的离心率为ca＝21＋3＝3－1.双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3.∴n2m2＝tan2π3＝3，∴e2＝m2＋n2m2＝m2＋3m2m2＝4，∴e＝2.解析17．(2019·安徽亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p0)与过点M(a,0)(a0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB.(1)确定p与a的数量关系；(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．解(1)设直线l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y2＝2px，ty＝x－a消去x得y2－2pty－2pa＝0.答案∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即y1y224p2＋y1y2＝0，∴a2－2pa＝0.∵a0，∴a＝2p.(2)由(1)可得|AB|＝1＋t2|y1－y2|＝2p1＋t2·t2＋4.|AM|·|MB|＝AM→·MB→＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·y21＋y222p－a2＝4p2(1＋t2)．答案∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，∴a·2p1＋t2·t2＋4＝λ·4p2(1＋t2)，∴λ＝4＋t21＋t2＝1＋31＋t2.∵t2≥0，∴λ∈(1,2]．答案18．(2019·山西吕梁联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过E1，32，且离心率e＝12.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点D的坐标为(4,3)，求直线DA，DB的斜率之和．解(1)由已知得1a2＋94b2＝1(ab0)，ca＝12，a2＝b2＋c2