2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业课件 理 新人教A版

配套课时作业1．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析由已知知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．解析答案D答案2．(2019·长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆．故选B.解析答案B答案3．到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为()A．y＝16x2B．y＝－16x2C．x2＝16yD．x2＝－16y解析由条件知，动点M到F(0,4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0,4)为焦点，直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y.解析答案C答案4．(2019·大同模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2答案D答案解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.又∵|PA|＝1，∴|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.解析5．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是()A.x23＋y24＝1B.x23＋y24＝1(x≠±3)C.x24＋y23＝1D.x24＋y23＝1(x≠±2)答案D答案解析因为|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，所以|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.所以点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆．又B是三角形的顶点，A，B，C三点不能共线，故所求的轨迹方程为x24＋y23＝1，且x≠±2.故选D.解析6．动圆M经过双曲线x2－y23＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析设双曲线x2－y23＝1的左焦点为F(－2,0)，因为动圆M经过F且与直线x＝2相切，所以圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.解析答案B答案7．(2019·浙江杭州检测)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案B答案解析不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝12|F2S|＝12(|QS|－|QF2|)＝12(|QF1|－|QF2|)＝a(定值)，∴点P的轨迹为圆．解析8．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，OM→＝35OA→＋25OB→，则点M的轨迹方程为()A.x29＋y24＝1B.y29＋x24＝1C.x225＋y29＝1D.y225＋x29＝1答案A答案解析设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由OM→＝35OA→＋25OB→，得(x，y)＝35(x0,0)＋25(0，y0)，则x＝35x0，y＝25y0，解得x0＝53x，y0＝52y，由|AB|＝5，得53x2＋52y2＝25，化简得x29＋y24＝1.解析9．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN→2＝λAN→·NB→，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线答案C答案解析以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，则N(x,0)．因为MN→2＝λAN→·NB→，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．解析10．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－x248＝1(y≤－1)B．y2－x248＝1C．y2－x248＝－1D．x2－y248＝1答案A答案解析由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴焦点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．解析11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝13，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是()A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线答案D答案解析在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．由题意知|PE|2－|PM|2＝1，又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，所以点P的轨迹为抛物线．解析12．(2019·福建质量检查)已知A(－2,0)，B(2,0)，斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足|MA|－|MB|＝23，|NA|－|NB|＝23，且线段MN的中点为(6,1)，则k的值为()A．－2B．－12C.12D．2答案D答案解析因为|MA|－|MB|＝23，|NA|－|NB|＝23，由双曲线的定义知，点M，N在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且c＝2，a＝3，所以b＝1，所以该双曲线的方程为x23－y2＝1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝12，y1＋y2＝2.设直线l的方程为y＝kx＋m，代入双曲线的方程，消去y，得(1－3k2)x2－6mkx－3m2－3＝0，所以x1＋x2＝6mk1－3k2＝12①，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝12k＋2m＝2②，由①②解得k＝2，故选D.解析13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．解析设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，因为∠APB＝60°，OP平分∠APB，所以∠OPB＝30°，因为|OB|＝1，∠OBP为直角，所以|OP|＝2，所以x2＋y2＝4.解析答案x2＋y2＝4答案14．(2019·长沙模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．答案x29－y216＝1(x3)答案解析如图，令内切圆与三边的切点分别为D，E，F，可知|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BE|＝8－2＝6|AB|＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x29－y216＝1(x3)．解析15．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为________．答案x24＋y23＝1(x≠－2)答案解析设圆M的半径为r1，圆N的半径为r2，圆P的半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．解析16．若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．答案y2＝4(x－2)答案解析(1)当直线斜率k存在时，设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由OM→＝NP→，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.由y＝kx－1，y2＝4x，联立得x＝x1＋x2＝2k2＋4k2.y＝y1＋y2＝4kk2，消去参数k，得y2＝4(x－2)．解析(2)当直线斜率k不存在时，直线方程为x＝1，由OP→＝2OF→得P(2,0)，适合y2＝4(x－2)．综合(1)(2)，点P的轨迹方程为y2＝4(x－2)．解析17．(2019·泰安质检)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1t3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解(1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，由x209＋y20＝1，得y20＝1－x209，从而x20y20＝x201－x209＝－19x20－922＋94.当x20＝92，y20＝12时，Smax＝6.从而t2＝x20＋y20＝5，t＝5，所以当t＝5时，矩形ABCD的面积取到最大值6.答案(2)由椭圆C2：x29＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)，①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)，②由①②得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③答案又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④将④代入③，得x29－y2＝1(x－3，y0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x－3，y0)．答案18．(2019·云南昆明模拟)已知动点M(x，y)满足：x＋12＋y2＋x－12＋y2＝22.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设过点N(－1,0)的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C(点C与点B不重合)．证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．解(1)由已知，动点M到点P(－1,0)，Q(1,0)的距离之和为22，且|PQ|22，所以动点M的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝1，所以b＝1，所以动点M的轨迹E的方程为x22＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)．由y＝kx＋1，x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，答案所以x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.又直线BC的方程为y－y2＝y2＋y1x2－x1(x－x2)，即y＝y2＋y1x2－x1x－x1y2＋x2y1x2－x1，令y＝0，得x＝x1y2＋x2y1y2＋y1＝2kx1x2＋kx1＋x2kx1＋x2＋2k答案＝2x1x2＋x1＋x2x1＋x2＋2＝4k2－41＋2k2－4k21＋2k2－4k21＋2k2＋2＝－2，所以直线BC恒过定点D(－2,0)．答案