2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程课件 理 新人教A版

第3讲圆的方程基础知识整合1．圆的定义、方程(1)在平面内到________的距离等于________的点的轨迹叫做圆．(2)确定一个圆的基本要素：________和________．□01定点□02定长□03圆心□04半径(3)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．(4)圆的一般方程①一般方程：________________________；②方程表示圆的充要条件：_________________；③圆心坐标：_________________，半径r＝_________________.□05x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0□06D2＋E2－4F0□07－D2，－E2□0812D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系(1)理论依据_______________________与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．□09点与圆心的距离①______________________⇔点在圆上⇔d＝r；②______________________⇔点在圆外⇔dr；③______________________⇔点在圆内⇔dr.□10(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2□11(x0－a)2＋(y0－b)2r2□12(x0－a)2＋(y0－b)2r2求圆的方程，如果能借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．2答案A答案解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.故选A.解析2．(2019·江西南昌模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－3，3)C．(－2，2)D.－22，22答案C答案解析∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)24，解得－2m2，故选C.解析3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B.－23，0C．(－2,0)D.－2，23答案D答案解析由圆的一般方程系数关系可得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)0，化简得3a2＋4a－40，解得－2a23.解析4．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0答案B答案解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.解析5．(2019·福建厦门模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案A答案解析设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得，x′＋4＝2x，y′－2＝2y，则x′＝2x－4，y′＝2y＋2，故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.解析6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案x2＋y2－2x＝0答案解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋0＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0，所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.解析核心考向突破考向一求圆的方程例1(1)(2019·海南海口模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案C答案解析到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组3x－4y＋5＝0，y＝－x－4，解得x＝－3，y＝－1.又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.解析(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的方程为________．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0答案解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解析解法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2.由题意得－D2－2×－E2－3＝0，4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0，解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解析触类旁通求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下：1根据题意选择标准方程或一般方程.2根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组.3解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.即时训练1.(2019·四川成都模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与y轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝8B．x2＋(y＋1)2＝8C．(x－1)2＋(y＋1)2＝8D．(x＋1)2＋(y－1)2＝8答案A答案解析在x－y＋1＝0中，令x＝0，解得y＝1.∴圆心C(0，1)．设圆的半径为r，∵圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴r＝|1＋3|2＝22，∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝8.故选A.解析2．(2019·江苏镇江模拟)圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋4)2＝8答案解析设圆心O的坐标为(x，－4x)，则kOP＝2－4xx－3，kl＝－1，又∵圆O与直线l相切，∴kOP·kl＝－1，∴x＝1，∴O(1，－4)，r＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.解析考向二与圆有关的轨迹问题例2(2019·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得yx－3·yx＝－1，整理得x－322＋y2＝94，答案又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立．设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，消去y得，(1＋k2)x2－6x＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝45，此时方程为95x2－6x＋5＝0，解上式得x＝53，因此53x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x－322＋y2＝9453x≤3.答案触类旁通求与圆有关的轨迹方程的方法即时训练3.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．答案(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.答案考向三与圆有关的最值问题角度1借助于几何性质求最值例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.答案(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.答案(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.答案角度2构建目标函数求最值例4(2019·江西新余模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4答案B答案解析解法一：由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圆上点P(x0，y0)可化为x0＝3＋cosθ，y0＝4＋sinθ.∵∠APB＝90°，即AP→·BP→＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y20＝0，∴m2＝x20＋y20＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36其中tanφ＝34，∴0m≤6，即m的最大值为6.故选B.解析解法二：∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m0)，∴m＝|OP|≤|OC|＋r，C(3,4)，r＝1，∴|OP|≤6，即m≤6.故选B.解析触类旁通与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值①形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2建立函数关系式求最值,根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.即时训练4.(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D