2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教

第3讲函数的奇偶性与周期性基础知识整合1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．□05f(x＋T)＝f(x)□06最小□07最小正数1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a0)．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝()A．－20B．20C．－12D．12解析f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D.解析答案D答案2．(2019·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－1xB．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1解析函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．解析答案C答案3．(2019·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,1)C．(－1,2)D．(－1,0)解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即2a－3a＋11，化简得(a－4)(a＋1)0，解得－1a4.故选A.解析答案A答案4．设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.解析∵f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，即1＋11＋a1＋－1＋1－1＋a－1＝0，∴a＝－1.解析答案－1答案5．(2018·沈阳模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________．解析∵f(2)＝0，f(x－1)0，∴f(x－1)f(2)，又∵f(x)是偶函数，∴f(|x－1|)f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x－1|2，∴－2x－12，∴－1x3，∴x∈(－1,3)．解析答案(－1,3)答案6．(2019·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝x1－x，0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________.解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f294＋f416＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.解析答案516答案核心考向突破考向一函数奇偶性的判断例1(1)(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数答案A答案解析∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝13x在R上是减函数，∴函数y＝－13x在R上是增函数．又∵y＝3x在R上是增函数，∴函数f(x)＝3x－13x在R上是增函数．故选A.解析(2)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝x2f(x)答案B答案解析设g(x)＝xf(x)．因为f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，所以g(－x)＝g(x)，所以B正确．解析触类旁通判断函数奇偶性的方法(1)定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f－xfx＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．(2)图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．3验证法：即判断fx±f－x是否为0.本例2中巧设gx，使问题变得清晰易懂.即时训练1.(2018·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|答案B答案解析因为y＝x3是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x2＋1，y＝2－|x|均为偶函数，所以A错误；又因为y＝－x2＋1，y＝2－|x|＝12|x|在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以C，D错误，故选B.解析2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C答案解析由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于A，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故错误；对于B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故错误；对于C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故正确；对于D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故错误．选C.解析考向二函数的周期性例2(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50答案C答案解析因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，选C.解析(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6答案解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.解析触类旁通函数周期性问题的求解关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在已知函数关系的范围上进行求解.本例1合理利用已知函数关系和函数奇偶性进行适当变形，准确求出周期.即时训练3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1fx，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2017)＋f(2019)的值为()A．0B．－4C．－2D．2答案A答案解析当x≥0时，f(x＋2)＝－1fx，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－1f1＝－1，所以f(－2017)＋f(2019)＝0.故选A.解析4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1,3)时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________.答案338答案解析由题意得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以数列{f(n)}从第一项起，每连续6项的和为1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝336×1＋2＝338.解析考向三函数性质的综合应用角度1奇偶性的应用例3(1)(2019·金版创新)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，若f(2019)＝－1，则f(－2019)的值为()A．3B．－1C．1D．0答案A答案解析设F(x)＝f(x)－1＝ax3＋bx，则F(x)为奇函数，所以F(－2019)＝－F(2019)，即f(－2019)－1＝－[f(2019)－1]，所以f(－2019)＝2－f(2019)＝2－(－1)＝3，故选A.解析(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x2－x，则当x0时，f(x)＝()A．2x2－xB．2x2＋xC．－2x2－xD．－2x2＋x答案C答案解析当x0时，－x0，f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2x2－x.故选C.解析(3)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝()A．1B．－1C．－12D.14答案B答案解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln1e＋1＋b，∴b＝12，∴log212＝－1.故选B.解析触类旁通利用函数的奇偶性可解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．2求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于fx的方程组，从而得到fx的解析式.3求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据fx±f－x＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程组，进而得出参数的值.即时训练5.(2019·齐鲁名校模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝()A．－3B．－54C.54D．3答案A答案解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.解析6．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A