2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算课件 文 新人教A

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第10节导数的概念与计算最新考纲1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.返回导航【教材导读】曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”有何不同？提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．返回导航1．函数的平均变化率(1)概念：对于函数y＝f(x)，f（x2）－f（x1）x2－x1＝ΔyΔx，叫做函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)几何意义：函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．(3)物理意义：函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，就是该质点在[x1，x2]上的平均速度．返回导航2．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数①定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.返回导航②几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．返回导航3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinx返回导航f(x)＝ax(a0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x返回导航4.导数的运算法则和复合函数的导数(1)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③fxgx′＝fxgx－fxgx[gx2(g(x)≠0)．(2)复合函数的导数复合函数y＝f(ax＋b)的求导法则为[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)．返回导航【重要结论】1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．返回导航1．下列求导运算正确的是()(A)x＋1x′＝1＋1x2(B)(log2x)′＝1xln2(C)(3x)′＝3x·log3e(D)(x2cosx)′＝－2xsinx返回导航B解析：因为x＋1x′＝1－1x2，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝1xln2，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C不正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正确．故选B.返回导航2．已知f(x)＝13x3＋2xf′(3)＋lnx，则f′(3)＝()(A)283(B)－283(C)9(D)－9B解析：因为f′(x)＝x2＋2f′(3)＋1x，所以f′(3)＝32＋2f′(3)＋13＝283＋2f′(3)，解得f′(3)＝－283，故选B.返回导航3．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()(A)193(B)163(C)133(D)103D解析：因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝103.故选D.返回导航4．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y′＝2x＋1，y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x返回导航5．给出下列命题：①y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．②求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．⑤若f(x)＝f′(a)x2＋lnx(a0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋1x.其中正确的是________．返回导航解析：①正确．根据导数的定义知其正确．②错误．应先求f′(x)，再求f′(x0)．③正确．如y＝1是曲线y＝sinx的切线，但其交点个数有无数个．④错误．如y＝0与抛物线y2＝x只有一个公共点，但是y＝0不是抛物线y2＝x的切线．⑤正确．f′(x)＝[f′(a)x2＋lnx]′＝[f′(a)x2]′＋(lnx)′＝2xf′(a)＋1x.答案：①③⑤返回导航考点一导数的概念利用导数的定义求函数y＝1x的导数．解：Δy＝1x＋Δx－1x＝x－x＋Δxx2＋x·Δx＝－Δxx2＋x·Δx（x＋x＋Δx），∴ΔyΔx＝－1x2＋x·Δx（x＋x＋Δx），返回导航∴limΔx→0ΔyΔx＝－12xx＝－12x－32，即y′＝－12x－32.返回导航【反思归纳】(1)求函数f(x)导数的步骤①求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1；③计算导数f′(x)＝limΔyΔx.(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x＝a即可求解，也可直接利用定义求解．返回导航【即时训练】用导数的定义求函数y＝x2－2x－1在x＝1处的导数．解：法一Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1)＝x2＋2x·Δx＋(Δx)2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1＝(2x－2)Δx＋(Δx)2，所以f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x－x＋x2Δx返回导航＝limΔx→0[(2x－2)＋Δx]＝2x－2.所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为f′(1)＝2×1－2＝0.法二Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)＝1＋2Δx＋(Δx)2－2－2Δx－1＋2＝(Δx)2，所以f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x2Δx＝limΔx→0Δx＝0.故f′(1)＝0.返回导航考点二导数的计算求下列函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝sinx21－2cos2x4；(3)y＝ln2x－12x＋1.(4)y＝11－x＋11＋x.返回导航解：(1)∵y＝x12＋x5＋sinxx2＝x－32＋x3＋sinxx2，∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－32x－52＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx；(2)因为y＝sinx2(－cosx2)＝－12sinx，所以y′＝(－12sinx)′＝－12(sinx)′＝－12cosx.返回导航(3)y′＝(ln2x－12x＋1)′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝12x－1·(2x－1)′－12x＋1·(2x＋1)′＝22x－1－22x＋1＝44x2－1.(4)y＝11－x＋11＋x＝21－xy′＝2（1－x）2＝2（x－1）2.返回导航【反思归纳】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．返回导航【即时训练】求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)(1x－1)；(2)y＝xsin(2x＋π2)cos(2x＋π2)；(3)y＝e2x＋e－2xex＋e－x.返回导航解：(1)因为y＝x·1x－x＋1x－1＝－x12＋x－12，所以y′＝－(x12)′＋(x－12)′＝－12x－12－12x－32＝－12x(1＋1x)．返回导航(2)因为y＝xsin(2x＋π2)cos(2x＋π2)＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，所以y′＝－12sin4x－12x·4·cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.返回导航(3)因为y＝e2x＋e－2xex＋e－x＝（ex＋e－x）2－2ex＋e－x＝ex＋e－x－2ex＋e－x＝ex＋e－x－2exe2x＋1，所以y′＝(ex)′＋(e－x)′－(2exe2x＋1)′＝ex－e－x－2ex（e2x＋1）－2ex·2e2x（e2x＋1）2＝ex－e－x－2ex（1－e2x）（1＋e2x）2.返回导航考点三导数的几何意义及其应用考查角度1：求切线方程．已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．返回导航解析：(1)∵P(2，4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.返回导航(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，返回导航∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或者说4x－y－4＝0.返回导航(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为x20＝1，x0＝±1.切点为(－1，1)或1，53，∴切线方程为y－1＝x＋1或y－53＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.返回导航【反思归纳】已知切点求切线方程，解决此类问题的步骤为(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．返回导航考查角度2：求切点坐标．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为()(A)3(B)2(C)1(D)12返回导航B解析：因为y＝x24－3lnx，所以y′＝x2－3x.再由导数的几何意义，令x2－3x＝－12，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B.返回导航【反思归纳】已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.返回导航考查角度3：求参数的取值(范围)．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝()(A)1(B)－1(C)2(D)－2返回导航C解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)