2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值课件 文 新人教A

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第2节函数的单调性与最值最新考纲1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.返回导航【教材导读】1．由增减函数的定义，判断并证明一个函数在某一区间上具有单调性的步骤有哪些？提示：取值→作差→变形→判号→定论．返回导航2．若函数f(x)在区间C和区间D上都是增(减)函数，则函数f(x)在区间C∪D上是增(减)函数吗？提示：不一定．如f(x)＝1x，在区间(－∞，0)及(0，＋∞)上都是减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数，如取x1＝－1，x2＝1，x1x2，但f(x1)f(x2)不成立．返回导航3．当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数y＝x3－3x的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)，不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．返回导航4．函数一定存在值域，那么它一定存在最值吗？提示：对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝x3.如果函数有最值，其最值一定是值域中的一个元素．返回导航1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数返回导航图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的返回导航(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．返回导航2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M．结论M为最大值M为最小值返回导航【重要结论】1．“对勾函数”y＝x＋ax(a0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)；减区间为[－a，0)和(0，a]，且对勾函数为奇函数．2．设任意x1，x2∈[a，b]，且x1x2，那么(1)f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．返回导航(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．3．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(b)；若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)min＝f(b)，f(x)max＝f(a)．返回导航1．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()(A)y＝3－x(B)y＝1x(C)y＝－x2＋4(D)y＝|x|D解析：结合函数的图象易知选D.返回导航2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()(A)(－∞，0)(B)0，12(C)[0，＋∞)(D)12，＋∞返回导航B解析：(数形结合法)y＝|x|(1－x)＝x（1－x），x≥0，－x（1－x），x＜0＝－x2＋x，x≥0，x2－x，x＜0＝－x－122＋14，x≥0，x－122－14，x＜0.结合图象知选B.返回导航3.给出下列命题：①函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．返回导航②若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数；③函数y＝|x|是R上的增函数；④函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)；⑤对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在D上是增函数．返回导航⑥闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．其中正确的是()(A)①②(B)③④(C)④⑤(D)⑤⑥返回导航D解析：①错误．函数的单调递增区间应为(－∞，0]和(0，＋∞)．②错误．对R上的特殊的－13，有f(－1)f(3)，f(x)在R上不一定为增函数．③错误．函数y＝|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．④错误．[1，＋∞)是单调递增区间的子集．返回导航⑤正确.若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则x1x2时，f(x1)f(x2)；x1x2时，f(x1)f(x2)．⑥正确．若函数在闭区间上单调，则其图象的最高、最低点一定在端点，即最值在端点处取到．返回导航4．“m＞1”是“函数f(x)＝3x＋m－33在区间[1，＋∞)无零点”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件返回导航A解析：函数f(x)＝3x＋m－33在区间[1，＋∞)上是增函数，若在[1，＋∞)无零点，则3x＋m＞33，即m＋1＞32，解得m＞12，故“m＞1”是“函数f(x)＝3x＋m－33”在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.返回导航5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝________．解析：依题意，知函数图象的对称轴为x＝－－m8＝m8＝－2，即m＝－16，从而f(x)＝4x2＋16x＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25.答案：25返回导航考点一函数单调性的判断已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)单调递减，求a的取值范围．返回导航解：(1)证明：任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2）.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．返回导航(2)任设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a（x2－x1）（x1－a）（x2－a）.∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所述知0＜a≤1.返回导航【反思归纳】判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，判断．(2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．返回导航(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．返回导航【即时训练】(2015上海高考改编)判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1＜a＜3)在x∈[1，2]上的单调性．解析：设1≤x1＜x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝－ax22＋1x2－ax21－1x1＝(x2－x1)a（x1＋x2）－1x1x2，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，1＜x1x2＜4，－1＜－1x1x2＜－14，返回导航又因为1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－1x1x2＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．返回导航考点二求函数的单调区间(1)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为()(A)(0，＋∞)(B)(－∞，0)(C)(2，＋∞)(D)(－∞，－2)返回导航(2)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是()(A)0，12(B)[a，1](C)(－∞，0)∪12，＋∞(D)[a，a＋1]返回导航解析：(1)要使f(x)单调递增，需有x2－4＞0，x＜0，解得x＜－2.(2)由图象知f(x)在(－∞，0]和12，＋∞上单调递减，而在0，12上单调递增．又0＜a＜1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈0，12，即0≤logax≤12，解得x∈[a，1]．故选B.答案：(1)D(2)B返回导航【反思归纳】求函数单调区间的常见方法1．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．返回导航2．求复合函数＝f(g(x))的单调区间的步骤：①确定函数的定义域．②将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)．③分别确定这两个函数的单调区间．④若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．返回导航提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．返回导航【即时训练】(1)函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠1}，对定义域内任意的x，都有f(2－x)＝f(x)，且当x＜1时，f(x)＝2x2－x，那么当x＞1时，f(x)的递增区间是()(A)54，＋∞(B)1，54(C)74，＋∞(D)1，74(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．返回导航(1)C解析：∵f(2－x)＝f(x)，∴x＝1是对称轴，当x＜1时的减区间为－∞，14，当x＞1时的增区间为－∞，14关于x＝1的对称区间为74，＋∞.返回导航(2)解析：令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作是y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数，∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．返回导航考点三函数单调性的应用考查角度1：求函数的值域或最值．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0，4]C．[0，4)D．(0，4)返回导航解析：y＝16－4x在定义域内是减函数，且4x＞0∴0≤16－4x＜16，函数y＝16－4x的值域是[0，4)．答案：C返回导航【反思归纳】利用单调性求最值，一般先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．返回导航考查角度2：比较函数值的大小．已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则()(A)f(x1)＜0，f(x2)＜0(B)f(x1)＜0，f(x2)＞0(C)f(x1)＞0，f(x2)＜0(D)f(x1)＞0，f(x2)＞0答案：B返回导航【反思归纳】比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性求解．返回导航考查角度3：利用函数的单调性解决不等式问题．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()(A)(8，＋∞)(B)(8，9](C)[8，9](