2020版高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第2节 圆与方程课件 文 新人教A版

第八篇平面解析几何(必修2、选修1-1)返回导航第2节圆与方程最新考纲1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.返回导航【教材导读】1．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？提示：当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的最基本要素是圆心和半径．返回导航2．圆的一般方程中为何限制D2＋E2－4F0?提示：圆的一般方程配方后得(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝14(D2＋E2－4F)．当D2＋E2－4F0时，方程才能表示圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点(－D2，－E2)；当D2＋E2－4F0时，方程无意义，不表示任何曲线．返回导航3．直线与圆的位置关系有哪些？提示：相离、相切、相交．返回导航4．两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差消去二次项得到的关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在直线的方程．返回导航1．圆的定义与方程(1)圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．返回导航(2)圆的方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心－D2，－E2半径12D2＋E2－4F返回导航2.点A(x0，y0)与⊙C的位置关系(1)|AC|r⇔点A在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)|AC|r⇔点A在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2.返回导航3．直线与圆的位置关系把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程，其判别式为Δ，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.位置关系列表如下：返回导航相离相切相交图形代数观点Δ0Δ＝0Δ0量化几何观点drd＝rdr返回导航4.直线被圆截得弦长的求法(1)几何法：圆的弦长的计算常用弦心距d，弦长一半12l及圆的半径r所构成的直角三角形来解，即r2＝d2＋12l2.(2)代数法：即利用根与系数的关系及弦长公式．|AB|＝1＋k2|xA－xB|＝（1＋k2）[（xA＋xB）2－4xAxB].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．返回导航5．圆与圆的位置关系⊙O1、⊙O2半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|.相离外切相交内切内含图形量的关系dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|d|r1－r2|返回导航【重要结论】1．两圆相交时，公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．2．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.返回导航1．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为()(A)π6(B)π3(C)π2(D)2π3返回导航C解析：将圆的方程化为标准形式为(x－2)2＋(y－2)2＝8.注意到圆C过原点，易知△ACB为等腰直角三角形，因此弦AB所对的圆心角的大小为π2.返回导航2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()(A)(－1，1)(B)(－3，3)(C)(－2，2)(D)(－22，22)C解析：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)24，解得－2m2.返回导航3．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是()(A)相离(B)相切(C)相交(D)以上三个选项均有可能返回导航C解析：直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1，0)，半径为3，而|AC|＝23，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．返回导航4．(2017全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为()(A)3(B)22(C)5(D)2返回导航A解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，返回导航则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为212＋22＝25，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝45，因为P在圆C上，所以P(1＋255cosθ，2＋255sinθ)，AB→＝(1，0)，AD→＝(0，2)，AP→＝λAB→＋μAD→＝(λ，2μ)，所以1＋255cosθ＝λ，2＋255sinθ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tanφ＝2，选A.返回导航5．若过点(1，1)的直线与圆x2＋y2－6x－4y＋4＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．解析：圆x2＋y2－6x－4y＋4＝0的圆心为(3，2)，半径r＝1236＋16－16＝3，点(1，1)与圆心(3，2)间的距离d＝（3－1）2＋（2－1）2＝5，∴|AB|的最小值|AB|min＝2r2－d2＝29－5＝4.答案：4返回导航考点一圆的方程(1)(2018合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()(A)(x－3)2＋(y＋4)2＝100(B)(x＋3)2＋(y－4)2＝100(C)(x－3)2＋(y－4)2＝25(D)(x＋3)2＋(y－4)2＝25返回导航(2)(2017温州十校联考)已知抛物线C1：x2＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的方程为()(A)x2＋(y－12)2＝3(B)x2＋(y－12)2＝4(C)x2＋(y－1)2＝12(D)x2＋(y－1)2＝16返回导航(3)根据下列条件，求圆的方程．①经过P(－2，4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；②圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．返回导航解析：(1)由题意可知：O(0，0)，C(6，－8)，则圆心坐标为：(3，－4)圆的直径为：62＋（－8）2＝10，据此可得圆的方程为：(x－3)2＋(y＋4)2＝1022，即(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.返回导航(2)如图，连接AC，BD，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F(0，12)，而|FA|＝|AD|＝|FB|为圆的半径r，于是A(32r，12＋12r)，而A在抛物线上，故(32r)2＝2(12＋12r)，所以r＝2，故选B.返回导航(3)①设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，①3D－E＋F＝－10.②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.返回导航故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.返回导航②方法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得4x0－23－x0＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝22，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得y0＝－4x0，（3－x0）2＋（－2－y0）2＝r2，|x0＋y0－1|2＝r，返回导航解得x0＝1，y0＝－4，r＝22.因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.返回导航【反思归纳】(1)求圆的方程，一般采用待定系数法．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．(2)在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的垂直平分线上．返回导航【即时训练】(1)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．(2)△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程．返回导航解析：(1)方法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则由题意得（1－a）2＋（1－b）2＝r2，①（2－a）2＋（－2－b）2＝r2，②a－b＋1＝0.③②－①得a－3b－3＝0.④③－④得b＝－2，代入③得a＝－3.将a＝－3，b＝－2代入①得r2＝25.所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.返回导航方法二：由点斜式可得线段AB的垂直平分线的方程为x－3y－3＝0.因为圆心在直线l：x－y＋1＝0上，所以线段AB的垂直平分线与直线l：x－y＋1＝0的交点就是圆心．解方程组x－3y－3＝0，x－y＋1＝0，得x＝－3，y＝－2，所以圆心为C(－3，－2)．圆的半径r＝|AC|＝（－3－1）2＋（－2－1）2＝5.所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.返回导航(2)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则52＋12＋5D＋E＋F＝0，72＋（－3）2＋7D－3E＋F＝0，22＋（－8）2＋2D－8E＋F＝0，解得D＝－4，E＝6，F＝－12.所以所求圆的标准方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0.返回导航考点二直线与圆的位置关系考查角度1：直线与圆相切已知圆C：x2＋y2＝3，从点A(－2，0)观察点B(2，a)，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是()(A)(－∞，－433)∪(433，＋∞)(B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)(C)(－∞，23)∪(23，＋∞)(D)(－∞，－43)∪(43，＋∞)返回导航解析：设过点A(－2，0)与圆C：x2＋y2＝3相切的直线为y＝k(x＋2)，则|2k|k2＋1＝3，解得k＝±3，∴切线方程为y＝±3(x＋2)，由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在x＝2的直线上，在y＝±3(x＋2)中，取x＝2，得y＝±43，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a＞43，或a＜－43.∴a的取值范围是(－∞，－43)∪(43，＋∞)．故选：D返回导航【反思归纳】圆的切线方程的求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.返回导航考查角度2：直线与圆相交已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．返回导航解析：(1)由y＝kx＋1，（x－1）2＋（y＋1）2＝12，消去y，得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0.因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)＞0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．返回导航(2)设直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝211－4