2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积课件

专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π解析：设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，所以S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.答案：B2．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体-V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.83．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：(1)法1：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中部部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法2：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.(2)作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABC-DEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N.则AM＝MH＝NG＝NF＝22x.又AM＋MN＋NF＝1，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1.故半正多面体的棱长为2－1.答案：262－1本讲高考命题主要考查的内容：(1)三视图的识别和简单应用；(2)空间几何体的表面积和体积的计算．前者主要题型是选择题、填空题；后者各类题型均可能出现，在解答题中，与空间线、面位置关系证明相结合，面积、体积的计算作为其中的一问，难度中等．热点1空间几何体的三视图与直观图(自主演练)1．几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等．2．由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．1．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P­BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A．1B．2C．3D．4解析：设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示．所以三棱锥P­BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD，因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.答案：B2．(2019·佛山调研)如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于()A．2B．3C．4D．1解析：由三视图知，该几何体为四棱锥(如图)．因为S梯形ABCD＝12(2＋4)×2＝6，所以13×6x＝8，则x＝4.答案：C3．(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．解析：由三视图，该几何体是如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1(棱长为4)中，去掉四棱柱MQD1A1-NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体．因为V棱柱＝4×（2＋4）×22＝24，所以所求几何体的体积V＝43－24＝40.答案：40[思维升华]1．(1)由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认．二要熟悉常见几何体的三视图．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．热点2几何体的表面积与体积(多维探究)1．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧＝Ch(C为底面周长，h为高)．(2)S锥侧＝12Ch′(C为底面周长，h′为斜高)．(3)S台侧＝12(C＋C′)h′(C′，C分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)．(3)V台＝13(S＋SS′＋S′)h(S，S′分别为上下底面面积，h为高)(不要求记忆)．角度空间几何体的表面积【例1】(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．16解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.答案：B[思维升华]1．由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小．(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式．2．(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．[变式训练]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．20＋2πB．24＋(2－1)πC．24＋(2－2)πD．20＋(2＋1)π解析：该几何体是把棱长为2的正方体挖去同底高为1的圆锥形成的．因为S圆锥侧＝πrl＝π·1·2＝2π，所以几何体的表面积S＝6×22－π×12＋2π＝24＋(2－1)π.答案：B角度空间几何体的体积【例2】(1)(2019·浙江卷)祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324解析：如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.答案：B(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析：在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝12·SA2＝8，解得SA＝4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r＝23，h＝2，所以圆锥的体积为13πr2·h＝13π×(23)2×2＝8π.答案：8π[思维升华]1．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．[变式训练](2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．解析：如图所示，在四棱锥V-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为2，可得OC＝1.设M为VC的中点，过点M作MO1∥OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心．所以O1M＝12OC＝12，O1O＝12VO.因为VO＝VC2－OC2＝2，所以O1O＝1.可得V圆柱＝π·O1M2·O1O＝π×122×1＝π4.答案：π4热点3多面体与球的切、接问题(迁移探究)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．【例3】(2019·衡水中学检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4πB.9π2C．6πD.32π3解析：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合题意．球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝9π2.答案：B[迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．解：将直三棱柱补形为长方体ABEC­A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC­A1B1E1C1的外接球．所以体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13.故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若将本例中条件变为：一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为π4，则圆锥的内切球的表面积为()A．8πB．4(2－2)2πC．4(2＋2)2πD.32（4－2）249π解析：圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为π4，圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面半径为2，设圆锥内切球的半径为r，则12×2r＋12×2r＋12×22r＝12×2×2，所以r＝22＋2＝2－2.所以圆锥内切球的表面积为4πr2＝4(2－2)2π.答案：B[思维升华]1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练](2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．86πB．46πC．26πD.6π解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，