2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题2 数列 第1讲 等差数列、等比数列课件 文

第二部分讲练篇专题二数列第1讲等差数列、等比数列自主练考点整合[做小题——激活思维]1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于()A．45B．75C．180D．300[答案]C2．已知数列{an}为等比数列，若a4＝7，a6＝21，则a8等于()A．35B．63C．213D．±213[答案]B3．已知数列{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a7等于()A.132B.152C．7D．9[答案]A4．已知数列{an}为等差数列，若a5＝11，a8＝5，则an＝________.[答案]－2n＋215．设首项为1，公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an的关系可表示为________．[答案]Sn＝2an－1[扣要点——查缺补漏]1．等差数列的通项及前n项和公式(1)an＝a1＋(n－1)d.如T4.(2)Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.如T3.2．等比数列的通项及前n项和公式(1)an＝a1qn－1(q≠0)．(2)Sn＝na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－qan1－qq≠1，如T5.3．等差、等比数列的性质(1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，如T1.(2)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列．(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列．(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq，如T2.(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．4．判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数an＋1an＝q，q为常数，则{an}为等差(比)数列；(2)中项公式法；(3)通项公式法．研考题举题固法等差、等比数列的基本运算(5年13考)[高考解读]高考重点考查等差数列、等比数列的通项及前n项和公式的应用，属每年必考内容.C[由题意知a1＞0，q＞0，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1，q＝2，∴a3＝a1q2＝4.故选C.]1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2切入点：S4＝15，a5＝3a3＋4a1.关键点：正确求出首项a1和公比q.2．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12切入点：将3S3＝S2＋S4利用a1和d表示．关键点：利用已知条件正确求出公差d.B[法一：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴33a1＋3×22×d＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，解得d＝－32a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.法二：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×22d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]3．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．切入点：{an}为各项均为正数的等比数列，an＞0，a1＝2，a3＝2a2＋16.关键点：正确求出公比q，进而正确求出{bn}的通项．[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.[教师备选题](2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝bn3，因此{bn}是首项为1，公比为13的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略1求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后，通项便可求出.2求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.3求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程组求解.4求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.易错提醒：解方程时，注意对根的检验.求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解.1．(等差数列的基本运算)[一题多解]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝()A．28B．21C．14D．7D[法一：设等差数列{an}的公差为d，由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝7×a1＋a72＝7×2a42＝7a4＝7，故选D.法二：设等差数列{an}的公差为d，由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a4－d)＋2a4－3(a4－2d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝7×a1＋a72＝7×2a42＝7a4＝7，故选D.]B[由题意知，q≠1，则3a11－q31－q＝a1q3－23a11－q21－q＝a1q2－2，两式相减可得－3q3－q21－q＝q3－q2，即－31－q＝1，所以q＝4.]2．(等比数列的基本运算)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．63．(等差、等比数列的综合运算)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝13，求Sn.[解](1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)∵T3＝b1(1＋q＋q2)，∴1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3，得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.由Sn＝na1＋12n(n－1)d，得Sn＝12n2－32n或Sn＝4n2－5n.等差、等比数列的性质(5年2考)[高考解读]高考对等差、等比数列的性质的考查主要体现在项与项之间的性质和前n项和的性质，要求不高，重点考查通性通法.1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C.12D.18切入点：a3a5＝a24.关键点：利用等比数列的性质及a3a5＝4(a4－1)，求出公比q.C[法一：根据等比数列的性质，结合已知条件求出a4，q后求解．∵a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)，∴a24＝4(a4－1)，∴a24－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝a4a1＝214＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝14×2＝12，故选C.法二：直接利用等比数列的通项公式，结合已知条件求出q后求解．∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝14代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝12，故选C.]2．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．切入点：S3＝－15.关键点：根据等差数列的前n项和公式求出公差d.[解](1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.23－1[∵a2，a3，a7成等比数列，∴a23＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②由①②解得a1＝23，d＝－1.][教师备选题]1．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝_______，d＝_______.1[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋26)(5－26)＝1，又b0，∴b＝1.2．(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________.5[log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a53＝5log2a3＝5log2a1a5＝5log22＝5.]3．(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.等差、等比数列性质应用问题求解策略1等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋an2＝nan＋12n为奇数是常用的转化方法.2熟练运用等差、等比数列的性质，如m＋n＝p＋q时，若{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq；若{an}为等比数列，则有am·an＝ap·aq，可减少运算过程，提高解题效率.1．(项的性质)已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10的值为()A．7B．－5C．5D．－7D[在等比数列{an}中，a5a6＝－8，∴a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.若a4＝4，a7＝－2，则q3＝－12，∴a1＝－8，a10＝a7·q3＝1，∴a1＋a10＝－7；若a4＝－2，a7＝4，则q3＝－2，∴a1＝1，a10＝a7·q3＝－8，∴a1＋a10＝－7.综上可得，a1＋a10＝－7.故选D.]2．(和的性质)一个等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为3227，则公差d等于()A．5B．6C．10D．12A[由题意可知S偶＋S奇＝354，S偶S奇＝3227，解得S偶＝192，S奇＝162，又由等差数列的性质，可得S偶－S奇＝6d，即192－162＝6d，解得d＝5.故选A.]3．(等差、等比数列性质的综合问题)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为32，则S5＝()A．36B．33C．32D．31D[设{an}的公比为q(q＞0)，∵a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4，∴a3a4＝2a3，∴a4＝2.又a4＋2a6＝3，∴a6＝12，∴q＝12，a1＝16，∴S5＝161－1251－12＝31.故选D.]等差、等比数列的判定与证明(5年3考)[高考解读]高考对此类问题的考查是先判断后证明，重点是等差数