.高中数学好题速递400题(101—150)

好题速递1011．在ABC和AEF中，B是EF的中点，1ABEF，6BC，33CA，若2ABAEACAF，则EF与BC的夹角余弦值为。解法一：2ABAEACAF，则2ABABBEACABBF22ABABBEACABACBF因为21AB，331363311233ABAC，BEBF所以112BFACAB所以2BFBC所以16cos22，所以2cos3解法二：设,,AExAFyCFz则2221133413322233xyzxyxy22232904xyz又因为AB为AEF中线，所以222242ABEFAEAF，即2252xy所以21324z在CBF中，113632244cos132622．一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外，没有区别，从中一次性摸出2个球。若摸得红球记3分，摸得黄球记2分，摸得蓝球记1分，摸得白球得0分，则得分和至少为4分的概率是。解：得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝，故24213PC好题速递1021．将正方形的四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形的12条棱所在的直线中，共有异面直线对。解：可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线组成几对异面直线。以对角线BE为一条，共有,,AHGDFC三条对角线异面，共有38122对还有,ADCD两条底边棱异面，共有2816对所以共有28对。2．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；俄方有5艘军舰，2架飞机。从中俄两方中各选2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的飞机和军舰都是不同的），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有种．解：11211243552412060180CCCCCC好题速递1031．已知点D、E、F是正ABC的边上的点，3DE，23DF，90EDF，则满足条件的正ABC边长的最大值是．解：232sinsin33BD，解得24sin3BD3sinsin36CD，解得23sin6CD所以31314cossin23sincos2222BCBDCD5sin33cos213sin故max213BC2．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且仅有两个偶数相邻，则这样的六位数共有个．解：288个好题速递1041．已知函数yfx是R上的奇函数，且fx在区间,0上单调递增，10f。设2cossin2gxxmxm，集合|0,,02Mmxgx，集合|0,,02Nmxfgx，则MN。解析：易得110ff，，所以01fxx或01x由此|0,,1012Nmxgxgx或所以|0,,12MNmxgx即0,2x，2cossin21gxxmxm恒成立即21sinsin210xmxm，即2sinsin220xmxm令sin0,1tx，则2220tmtm对0,1t恒成立所以2max22tmt令21,2ts，所以22222242244222stssstsss所以|422MNmm2．有四名志愿者到三个景点服务，每个景点至少1名大学生，则甲乙两名志愿者被分到不同景点的情况有种．解：2113124213322236630CCCACAA好题速递1051．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4，点H在棱1AA上，且11HA，在侧面11BCCB内作边长为1的正方形1EFGC，P是侧面11BCCB内一动点，且点P到平面11CDDC的距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是。【解析】依题意知点P到点F的距离与点直线1CC的距离相等，所以点P的轨迹是以F为焦点，1CC为准线的抛物线。作1HQBB于Q，则PQ最小时2HP最小。再由解析几何可得min6PQ，所以2HP最小值为22，即min22HP2．某教师一天上3个班级的课，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有种．解：33393332474AAA好题速递1061．在平面直角坐标系中有两点1,33,1,3AB，以原点为圆心，以0rr为半径作圆，与射线30yxx交于点M，与x轴正半轴交于点N，则当r变化时，AMBN的最小值为。解：设3,,,022rrMNr所以22222313313531322rAMBNrrrr问题等价于点5,3,1,3EF与x轴上的点,0Pr连线段长的和最短作'5,3E，则''27EPFPEPFPEF当且仅当3r时，取得最小值。2．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为（用数值作答）．解：12141339352234425CCCC好题速递1071．在ABC中，22ACAB，3BC，P是ABC内部一点，且满足PBCPCAPABSSSPAPBPBPCPCPA，则PAPBPC。解：由PBCPCAPABSSSPAPBPBPCPCPA得tantantanAPCBPCAPB又360APCBPCAPB故120APCBPCAPB设BCP，则60PCB，30ABP，30PAB故在PBC中由正弦定理得3sinsin120BP，3sin60sin120CP在PBA中由正弦定理得sin30sin120BP，sin30sin120AP所以sin303sinsin120sin120，解得3tan9所以7321sin,cos1414所以PAPBPCsin303sin603sin7sin120sin120sin1202．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是。解：2555216CA好题速递1081．已知实数,xy满足0xy，且2xy，则213xyxy的最小值为。解：令3xya，xyb，则0ab，4ab2121121121322332234baabxyxyabababababab当且仅当4,2abab，即842,424ab，即221,322xy时取得等号。选题理由：在解决不等式问题时，如果出现分母里的字母较多较复杂时，不妨考虑先换元使得分母简单，更容易看清题目考查的本质。这里其实是以往我们非常熟悉的一次和与倒数和的不等式应用，只是将等式转化为不等式，注重考查了等号能否取到的问题。同类题：已知正数,ab满足23239ab，则1411ab的最小值为。解：令1ax，1by，则21219xy，所以41212xyxx故14141368114abxyxx问题转化为分式函数求值域的问题。易得当45x，即9,95ab时，min147114ab2．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k(其中k{5,6,7,8,9})的概率是52，则k=．解：1111021025kkCCC，解得7k好题速递1091．在直角坐标系xOy中，若直线1ykx与曲线11yxxxx有四个交点，则实数k的取值范围是。解：11yxxxx是偶函数，故只需画出0x时的图象，2,0,12,1,xxfxxx，再关于y轴对称作出整个图象易求得1ykx与2yx相切时，斜率18k故由图可知110,,88kkk时，恰有四个交点。选题理由：遇到一个未知函数时，一定要充分利用奇偶性和单调性画出函数图象。考试中遇到的函数图象往往是几段能画的图象拼接而成，画好图象是解决函数问题的王道！2．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周五、周六、周日三天中任选一天参加公益活动，则每天都有同学参加公益活动的概率是_________。解：21134213224439CCCAA好题速递1101．设yfx是定义在R上的函数，对任意的xR，恒有2fxfxx成立，22xgxfx，若yfx在,0上单调递增，且222fafaa，则a的取值范围是。解：令22xgxfx，得0gxgx又因为yfx在,0上单调递增，故ygx在,0上也单调递增，又gx是奇函数，故ygx在R上单调递增，2222222022aafafaafafa得20gaga所以2gaga所以2aa，得1a2．已知3,2,1,1,2,3,ba且ba，则复数biaz对应点在第二象限的概率为。（用最简分数表示）解：113326310CCA好题速递1111．已知21()ln(1),()2xfxxgxm，若120,3,1,2xx，使得12()()fxgx，则实数m的取值范围是。解：要使命题成立需满足1min2min()()fxgx，函数2()ln(1)fxx在0,3上是增函数，所以1min()(0)0fxf，函数1()2xgxm在1,2上是减函数，所以22min1()(2)2gxgm，所以2110,24mm。2．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口6排A座6排B座6排C座走廊6排D座6排E座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。解：30好题速递1121．若实数,xy满足6182xxyy，则xy的最大值是。解：令1xa，2yb则2234280,0abab，223xyab问题转变求为圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值故2223527350207xyab2．设集合1236,,,,|1,0,1,1,2,3,,6iAxxxxxi，则集合A中满足条件“123615xxxx”的元素个数为。（用数字作答）解：6个字母中有15kk个字母是1，有6k个字母是0，故有61122550066666662221222664CCCCCL好题速递1131．在平面直角坐标系中，定义点11,Pxy、