2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题1 三角函数和解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质课件

第二部分讲练篇专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象与性质自主练考点整合[做小题——激活思维]1．函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD．π2C[函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为2π2＝π.故选C.]2．函数y＝cos2x图象的一条对称轴方程是()A．x＝π12B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2D[由题意易知其一条对称轴的方程为x＝π2，故选D.]3．函数g(x)＝3sinx－π12在－π4，3π4上的最小值为________．－32[因为x∈－π4，3π4，所以x－π12∈－π3，2π3.当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g(x)取得最小值－32.]4．函数y＝cosπ4－2x的单调递减区间为________．kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)[由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．]5．函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________．y＝2sin2x－π3[由题图易知A＝2，由T＝2×2π3－π6＝π，可知ω＝2πT＝2ππ＝2.于是y＝2sin(2x＋φ)，把π6，0代入y＝2sin(2x＋φ)得，0＝2sin2×π6＋φ，故π3＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|＜π2，故φ＝－π3，综上可知，该函数的解析式为y＝2sin2x－π3.]6．将函数y＝sinx＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．y＝sinx2＋5π12[将函数y＝sinx＋π6――――――→函数图象上所有的点向左平移π4个单位长度y＝sinx＋5π12――――――――→横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变y＝sin12x＋5π12.][扣要点——查缺补漏]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式的确定A由最值确定；ω由周期确定T＝2πω；φ由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列方程确定即ωxi＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，如T5.2．三种图象变换：平移、伸缩、对称注意：由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需向左或向右平移φω个单位，如T6.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的性质研究三角函数的性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．(1)T＝2πω，如T1.(2)类比y＝sinx的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．①y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．②y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．注意对称中心必须写成点坐标．如T2.③y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，对称中心可由ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)求得．④单调性、最值，如T3，T4.研考题举题固法三角函数的值域、最值问题(5年3考)[高考解读]高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为fx＝Asinωx＋φ＋B的形式或化fx为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．－4[∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴f(x)＝－2t2－3t＋1.又函数f(x)图象的对称轴t＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．1[f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]，∴当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.]3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．－332[因为f(x)＝2sinx＋sin2x，所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4cosx－12(cosx＋1)，由f′(x)≥0得12≤cosx≤1，即2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z，由f′(x)≤0得－1≤cosx≤12，2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－π3，k∈Z，所以当x＝2kπ－π3(k∈Z)时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝f2kπ－π3＝2sin2kπ－π3＋sin22kπ－π3＝－332.]三角函数值域(最值)的3种求法(1)直接法：利用sinx，cosx的有界性直接求．(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)．(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．1．(求取得最值时的变量x)当函数y＝3sinx－cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.2π3[∵y＝3sinx－cosx＝232sinx－12cosx＝2sinx－π6.∵0≤x＜2π，∴－π6≤x－π6＜11π6.∴当x－π6＝π2，即x＝2π3时，函数取得最大值．]2．(求参数的范围)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω＞0)在π12，π3上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．34，3[函数f(x)＝sinωx＋π4(ω＞0)在π12，π3上有最大值，但没有最小值，所以ω·π12＋π4＜π2＜ω·π3＋π4≤3π2⇒ω∈34，3.]3．(与导数交汇求最值)已知函数f(x)＝2cosx＋sin2x，则f(x)的最大值为________．332[∵f′(x)＝－2sinx＋2cos2x＝2－4sin2x－2sinx＝－2(2sinx－1)(sinx＋1)，由f′(x)＝0得sinx＝12或sinx＝－1.∴当－1＜sinx＜12时，f′(x)＞0，当12＜sinx＜1时，f′(x)＜0.∴当sinx＝12时，f(x)取得极大值．此时cosx＝－32或cosx＝32.经验证可知，当cosx＝32时，f(x)有最大值，又f(x)＝2cosx(sinx＋1)，∴f(x)max＝2×32×1＋12＝332.]三角函数的图象(5年5考)[高考解读]高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用.1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3A[根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．由图象知T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为π3，2，所以A＝2，且2×π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－π6.故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2D[因为y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cos2x＋π12＝cos2x＋π6.故选D.]求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法字母确定途径说明A、B由最值确定A＝ymax－ymin2，B＝ymax＋ymin2ω由函数的周期确定利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期φ由图象上的特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ提醒：三角函数图象的平移问题(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T2.(2)将y＝sinωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换成ωx＋φω，根据φω确定平移量的大小，根据φω的符号确定平移的方向．1.(知图求值)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(2019)的值为_______．－1[由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×52－1＝6，所以ω＝2πT＝π3，所以f(x)＝Asinπ3x＋φ，将(0,1)代入，可得Asinφ＝1，所以f(2019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asinπ3×3＋φ＝－Asinφ＝－1.]2．(平移变换的应用)将偶函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为()A.kπ3＋π4，0(k∈Z)B.kπ3＋π12，0(k∈Z)C.kπ3＋π6，0(k∈Z)D.kπ3＋7π36，0(k∈Z)A[因为函数f(x)＝sin(3x＋φ)为偶函数且0＜φ＜π，所以φ＝π2，f(x)的图象向右平移π12个单位长度后可得g(x)＝sin3x－π12＋π2＝sin3x＋π4的图象，分析选项知kπ3＋π4，0(k∈Z)为曲线y＝g(x)的对称中心．故选A.]3．(与函