2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 3 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第一章集合与常用逻辑用语1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“____”、“____”、“____”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断pqp∧qp∨q﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真或且非2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等_____存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等_____∀∃(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记__________，p(x)__________，p(x0)否定__________，﹁p(x0)__________，﹁p(x)∀x∈M∃x0∈M∃x0∈M∀x∈M常用知识拓展1．含逻辑联结词命题真假的判断(1)p∧q中一假则假，全真才真．(2)p∨q中一真则真，全假才假．(3)p与﹁p真假性相反．2．全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√(教材习题改编)命题“∃x0∈R，x20－x0－10”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－10C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0解析：选A.依题意得，命题“∃x0∈R，x20－x0－10”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧(﹁q)B．(﹁p)∧qC．(﹁p)∧(﹁q)D．p∧q解析：选A.因为命题p为真命题，q为假命题，故﹁q为真命题，所以p∧(﹁q)为真命题．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”(教材习题改编)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为___________________________________．若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：因为0≤x≤π4，所以0≤tanx≤1，又因为∀x∈0，π4，tanx≤m，故m≥1，即m的最小值为1.答案：1全称命题、特称命题(多维探究)角度一全称命题、特称命题的否定已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为()A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数【解析】本题考查特称命题的否定．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．【答案】D角度二判断全称命题、特称命题的真假性(2019·长沙统一模拟考试)已知函数f(x)＝x12，则()A．∃x0∈R，f(x0)0B．∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，f（x1）－f（x2）x1－x20D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)f(x2)【解析】幂函数f(x)＝x12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中，当x1＝0时，结论不成立，选B.【答案】B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真[注意]无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，都可先判断其否定的真假．(2019·河南商丘模拟)已知f(x)＝sinx－x，命题p：∃x∈0，π2，f(x)0，则()A．p是假命题，﹁p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B．p是假命题，﹁p：∃x∈0，π2，f(x)≥0C．p是真命题，﹁p：∀x∈0，π2，f(x)≥0D．p是真命题，﹁p：∃x∈0，π2，f(x)≥0解析：选C.易知f′(x)＝cosx－10，所以f(x)在0，π2上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)0，所以命题p：∃x∈0，π2，f(x)0是真命题，﹁p：∀x∈0，π2，f(x)≥0，故选C.(1)命题p：若sinxsiny，则xy；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p∨qB．p∧qC．qD．﹁p含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)(2)(2019·唐山市五校联考)已知命题p：“ab”是“2a2b”的充要条件；q：∃x∈R，|x＋1|≤x，则()A．(﹁p)∨q为真命题B．p∨q为真命题C．p∧q为真命题D．p∧(﹁q)为假命题【解析】(1)取x＝π3，y＝5π6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故﹁p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．(2)由函数y＝2x是R上的增函数，知命题p是真命题．对于命题q，当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|＝x＋1x；当x＋10，即x－1时，|x＋1|＝－x－1，由－x－1≤x，得x≥－12，无解，因此命题q是假命题．所以(﹁p)∨q为假命题，A错误；p∨q为真命题，B正确；p∧q为假命题，C错误；p∧(﹁q)为真命题，D错误．故选B.【答案】(1)B(2)B(1)“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式命题真假的判断步骤①确定命题的构成形式；②判断命题p，q的真假；③根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式命题的真假．(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假；②p∨q假⇔p，q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真；③p∧q真⇔p，q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假；④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真；⑤﹁p真⇔p假；﹁p假⇔p真．已知命题p：“若x2－x0，则x1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(﹁q)B．p∨qC．p∧qD．(﹁p)∧(﹁q)解析：选B.若x2－x0，则x1或x0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题，故选B.已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋10，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)【解】依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋10恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－40，即－2m2.因此由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[迁移探究1](变结论)本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________．解析：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m0；当q是真命题时，有－2m2，由m0，－2m2，可得－2m0.答案：(－2，0)[迁移探究2](变结论)本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时m0，m≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q真时m≥0，－2m2，所以0≤m2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．答案：(－∞，－2]∪[0，2)[迁移探究3](变条件)本例中的条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋10，其他不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－40，所以m2或m－2.由题意知，p，q均为假命题，所以m≥0，－2≤m≤2，得0≤m≤2，所以m的取值范围是[0，2]．答案：[0，2](1)由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；②根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．(2)全称命题可转化为恒成立问题含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决．[注意]要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2)，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．(2019·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[1，4]C．(－∞，1]D．[e，4]解析：选D.命题p等价于lna≥x对x∈[0，1]恒成立，所以lna≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e，4]，故选D.