2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 8 第7讲 正弦定理和余弦定理（第1课时）

第7讲正弦定理和余弦定理第四章三角函数、解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝___________________；b2＝___________________；c2＝___________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝________，b＝________，c＝________；sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____；a∶b∶c＝___________________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝________；cosB＝________；cosC＝________2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解[注意]上表中A为锐角时，absinA，无解．A为钝角或直角时，a＝b，ab均无解．3．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝___________＝12absinC.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径).12acsinB常用知识拓展1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.(3)sinA＋B2＝cosC2.(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A;已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinAsinB的充分不必要条件是AB.()(4)在△ABC中，“a2＋b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．()(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝6，A＝2π3，则B＝()A．π4或π6B．π12C．π4D．π6解析：选C.由正弦定理，得3sin2π3＝6sinB，解得sinB＝22.又因为在△ABC中，A＝2π3，所以B＝π4.故选C.(教材习题改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.cosB＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为________．解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝12(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×2×12＝12.答案：12设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝________．解析：由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝32a＝3.由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c＝4.答案：4第1课时正弦定理和余弦定理(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B．30C．29D．25利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3(3)(2019·贵州贵阳摸底)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.①求边长a；②求sinA.【解】(1)选A.因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42.故选A.(2)选A.由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3c22bc＝－14，得bc＝6.故选A.(3)①由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab得cos120°＝a2＋（a＋2）2－（a＋4）22a（a＋2），即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.②由①知a＝3，c＝7，由正弦定理得3sinA＝7sinC＝7sin120°，即sinA＝3314.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(一题多解)(2019·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为()A．1∶1∶3B．1∶2∶3C．1∶3∶2D．1∶4∶1解析：选B.法一：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝32.因为B为锐角，所以B＝60°，则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B.法二：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾，当c＝2时，abc，则ABC，排除选项A，C，D，故选B.2．(2019·河南南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝()A．823B．1433C．73D．733解析：选D.因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝asinA＝732＝1433，所以R＝733，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB.由题设知，5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为________．判断三角形的形状(典例迁移)【解析】(1)法一：因为bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a，所以asinA＝a即sinA＝1，故A＝π2，因此△ABC是直角三角形．法二：因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，故sinA＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．(2)因为c－acosB＝(2a－b)cosA，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，故cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinA＝sinB，即A＝π2或A＝B，故△ABC为等腰或直角三角形．【答案】(1)A(2)等腰或直角三角形[迁移探究](变条件)若将本例(1)条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．解：法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．(2019·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．非钝角三角形解析：选B.因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cosC＝9t2＋25t2－49t22×3t×5t＝－12，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B.2．(一题多解)若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选D.法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为a2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°C180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形．数学运算——计算三角形中的未知量数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．(2018·高考天津卷节选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b.【解】(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－