2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲 几何概型课件 理 新

第5讲几何概型第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）长度(面积或体积)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4解析：选B.不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B.(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30s，黄灯的时间为5s，绿灯的时间为40s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()A.15B.25C.35D.45解析：选B.设事件A表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A对应30s的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度．根据几何概型的概率公式可得，事件A发生的概率P(A)＝3075＝25.(2017·高考江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.答案：59(教材习题改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．解析：设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R，则所求事件的概率为P＝S阴S圆＝12×2R×2RπR2＝1π.答案：1π[典例引领](1)(2019·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为________．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM1的概率为________．与长度(角度)有关的几何概型【解析】(1)因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以0m8，|3＋4－1|2m，解得0m32，所以所求概率P＝328.(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝3，∠B＝60°，所以BD＝ADtan60°＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得∠BAM∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式得P(N)＝30°75°＝25.【答案】(1)328(2)25本例(2)中，若将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM1的概率．解：依题意知BC＝BD＋DC＝1＋3，P(BM1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：选B.由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)从区间[－2，2]中随机选取一个实数a，则函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1有零点的概率是()A.14B.13C.12D.23解析：选A.令t＝2x，函数有零点就等价于方程t2－2at＋1＝0有正根，进而可得Δ≥0t1＋t20t1t20⇒a≥1，又a∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[1，2]，故P＝14，选A.(高频考点)与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度较小，多为容易题或中档题．高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度：(1)与平面图形面积有关的几何概型；(2)与线性规划知识交汇命题的几何概型；(3)与定积分交汇命题的几何概型；(4)与随机模拟相关的几何概型．与面积有关的几何概型[典例引领]角度一与平面图形面积有关的几何概型(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3【解析】法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12bc，区域Ⅱ的面积S2＝12π×c22＋12π×b22－π×a222－12bc＝18π(c2＋b2－a2)＋12bc＝12bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－π×（2）22－2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝π×（2）22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝2π＋2，p3＝π－2π＋2，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.【答案】A角度二与线性规划知识交汇命题的几何概型(2019·河南洛阳模拟)已知O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，则点P到点C的距离大于14的概率为________．【解析】因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，所以0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2.如图，不等式组0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|14对应的平面区域为阴影部分．由x－2y＝0，2x＋y＝2解得x＝45，y＝25，即E45，25，所以|OE|＝452＋252＝255，所以正方形OEFG的面积为45，则阴影部分的面积为45－116π，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－116π45＝1－5π64.【答案】1－5π64角度三与定积分交汇命题的几何概型(2019·湘东五校联考)已知平面区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是()A.12B.1πC.2πD.π4【解析】y＝sin2x＝12－12cos2x，所以0π12－12cos2xdx＝12x－14sin2x|π0＝π2，区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是π2π＝12.故选A.【答案】A角度四与随机模拟相关的几何概型(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn【解析】设由0≤xn≤10≤yn≤1构成的正方形的面积为S，x2n＋y2n＜1构成的图形的面积为S′，所以S′S＝14π1＝mn，所以π＝4mn，故选C.【答案】C与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的区域以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验的全部结果构成的平面图形，以便求解．[通关练习]1．已知点P，Q为圆O：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|6，若PQ的中点组成的区域为M，在圆O内任取一点，则该点落在区域M上的概率为()A.35B.925C.1625D.25解析：选B.PQ的中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在圆O内部任取一点落在M内的概率为25π－16π25π＝925.2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.记函数f(x)满足条件f（2）≤12，f（－2）≤4为事件A，则事件A发生的概率为()A.14B.58C.12D.38解析：选C.由题意，得4＋2b＋c≤12，4－2b＋c≤4，0≤b≤4，0≤c≤4，即2b＋c－8≤0，2b－c≥0，0≤b≤4，0≤c≤4表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为12.[典例引领]一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为()与体积有关的几何概型【解析】因为VF­AMCD＝13×S四边形AMCD×DF＝14a3，VADF­BCE＝12a3，所以它飞入几何体F­AMCD内的概率为14a312a3＝12.【答案】DA.34B.23C.13D.12与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．[通关练习]1．已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC12VS­ABC的概率是()A.34B.78C.12D.14解析：选B.由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP­ABC12VS­ABC，故使得VP­ABC12VS­ABC的概率：P＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝78.2．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．π12B．1－π12C．π6D．1－π6解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．易错防范(1)准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度