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第3讲几何概型第十章概率1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________________成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.2.几何概型的概率公式P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)长度(面积或体积)判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()答案:(1)√(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)一个路口的红绿灯,红灯的时间为30s,黄灯的时间为5s,绿灯的时间为40s,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()A.15B.25C.35D.45解析:选B.设事件A表示“某人到达路口时看见的是红灯”,则事件A对应30s的时间长度,而路口红绿灯亮的一个周期为30+5+40=75s的时间长度.根据几何概型的概率公式可得,事件A发生的概率P(A)=3075=25.(教材习题改编)如图,在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形.往正方形内随机撒一把豆子(共m颗).落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(nm),则L围成的区域面积(阴影部分)为()A.2nmB.4nmC.n2mD.n4m解析:选B.S阴影S正方形=落在L围成的区域内的豆子数n落在正方形中的豆子数m,所以S阴影=nm×22=4nm.记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________.解析:由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,则D=[-2,3],则所求概率为3-(-2)5-(-4)=59.答案:59若向区域Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}内投点,则该点到原点的距离小于1的概率为________.解析:由题意,可知平面区域Ω是边长为1的正方形,其面积为1,在区域Ω内,到原点的距离小于1的点构成的区域是以原点为圆心,1为半径的14圆(不包括圆弧),如图中阴影部分所示,所以所求概率P=π4.答案:π4(1)(2019·辽宁省五校协作体联考)若a∈[1,6],则函数y=x2+ax在区间[2,+∞)上单调递增的概率是()A.15B.25C.35D.45与长度有关的几何概型(典例迁移)(2)在区间[0,π]上随机地取一个数x,使sinx>12的概率为()A.13B.12C.23D.34【解析】(1)因为函数y=x2+ax=x+ax在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,而1≤a≤6,所以1≤a≤6.要使函数y=x2+ax在区间[2,+∞)上单调递增,则a≤2,得1≤a≤4,所以P(1≤a≤4)=4-16-1=35,故选C.(2)结合正弦曲线,在[0,π]上使sinx>12的x∈π6,5π6,由几何概型的概率公式,得P=5π6-π6π-0=23.【答案】(1)C(2)C[迁移探究](变条件)若将本例(2)中的不等式变为sinx≤32,如何求概率?解:结合正弦曲线,在[0,π]上使sinx≤32的x∈0,π3∪2π3,π,故所求概率为P=π3-0+π-2π3π-0=23.与长度有关的几何概型(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为P(A)=构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型,利用几何概型概率公式进行求解.1.(2019·湖北武汉模拟)某路公交车在6:30,7:00,7:30,准时发车,小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车,且到达该车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率为________.解析:小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车,总时长为40分钟,公交车在6:30,7:00,7:30准时发车,他等车时间不超过10分钟,则必须在6:50至7:00或7:20至7:30之间到达,时长为20分钟,则他等车时间不超过10分钟的概率P=2040=12.答案:122.(2019·江西赣州十四县联考)在(0,8)上随机取一个数m,则事件“直线x+y-1=0与圆(x-3)2+(y-4)2=m2没有公共点”发生的概率为________.解析:因为m∈(0,8),直线x+y-1=0与圆(x-3)2+(y-4)2=m2没有公共点,所以0m8,|3+4-1|2m,解得0m32,所以所求概率P=328.答案:328角度一与平面图形面积有关的几何概型(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3与面积有关的几何概型(多维探究)【解析】法一:设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积,为S1=12bc,区域Ⅱ的面积S2=12π×c22+12π×b22-π×a222-12bc=18π(c2+b2-a2)+12bc=12bc,所以S1=S2,由几何概型的知识知p1=p2,故选A.法二:不妨设△ABC为等腰直角三角形,AB=AC=2,则BC=22,所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积,为S1=12×2×2=2,区域Ⅱ的面积S2=π×12-π×(2)22-2=2,区域Ⅲ的面积S3=π×(2)22-2=π-2.根据几何概型的概率计算公式,得p1=p2=2π+2,p3=π-2π+2,所以p1≠p3,p2≠p3,p1≠p2+p3,故选A.【答案】A角度二与线性规划知识交汇命题的几何概型(2019·广州综合测试)在平面区域{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P,则点P的坐标(x,y)满足y≤2x的概率为()A.14B.12C.23D.34【解析】依题意作出图象如图,则P(y≤2x)=S阴影S正方形=12×12×112=14.【答案】A与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.1.(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步.”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是()A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π20解析:选D.如图,直角三角形的斜边长为82+152=17,设其内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3,所以内切圆的面积为πr2=9π,所以豆子落在内切圆外的概率P=1-9π12×8×15=1-3π20.2.如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线y=1x,y=-1x,y=x,y=-x及圆构成的.在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.18C.π4D.π8解析:选A.根据图象的对称性知,黑色部分的面积为圆面积的14,在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是14,故选A.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔,则它飞入几何体FAMCD内的概率为()A.34B.23C.13D.12与体积有关的几何概型(师生共研)【解析】因为VFAMCD=13×S四边形AMCD×DF=14a3,VADFBCE=12a3,所以它飞入几何体FAMCD内的概率为14a312a3=12.【答案】D与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B.1-π12C.π6D.1-π6解析:选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球外.记“点P到点O的距离大于1”为事件M,则P(M)=23-12×4π3×1323=1-π12.
本文标题:2020版高考数学大一轮复习 第十章 概率 3 第3讲 几何概型课件 文 新人教A版
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