2020版高考数学大一轮复习 第十章 概率 3 第3讲 几何概型课件 文 新人教A版

第3讲几何概型第十章概率1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）长度(面积或体积)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30s，黄灯的时间为5s，绿灯的时间为40s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()A.15B.25C.35D.45解析：选B.设事件A表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A对应30s的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75s的时间长度．根据几何概型的概率公式可得，事件A发生的概率P(A)＝3075＝25.(教材习题改编)如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(nm)，则L围成的区域面积(阴影部分)为()A.2nmB.4nmC.n2mD.n4m解析：选B.S阴影S正方形＝落在L围成的区域内的豆子数n落在正方形中的豆子数m，所以S阴影＝nm×22＝4nm.记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.答案：59若向区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为________．解析：由题意，可知平面区域Ω是边长为1的正方形，其面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的点构成的区域是以原点为圆心，1为半径的14圆(不包括圆弧)，如图中阴影部分所示，所以所求概率P＝π4.答案：π4(1)(2019·辽宁省五校协作体联考)若a∈[1，6]，则函数y＝x2＋ax在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是()A.15B.25C.35D.45与长度有关的几何概型(典例迁移)(2)在区间[0，π]上随机地取一个数x，使sinx＞12的概率为()A.13B.12C.23D.34【解析】(1)因为函数y＝x2＋ax＝x＋ax在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，而1≤a≤6，所以1≤a≤6.要使函数y＝x2＋ax在区间[2，＋∞)上单调递增，则a≤2，得1≤a≤4，所以P(1≤a≤4)＝4－16－1＝35，故选C.(2)结合正弦曲线，在[0，π]上使sinx＞12的x∈π6，5π6，由几何概型的概率公式，得P＝5π6－π6π－0＝23.【答案】(1)C(2)C[迁移探究](变条件)若将本例(2)中的不等式变为sinx≤32，如何求概率？解：结合正弦曲线，在[0，π]上使sinx≤32的x∈0，π3∪2π3，π，故所求概率为P＝π3－0＋π－2π3π－0＝23.与长度有关的几何概型(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．1．(2019·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30，7：00，7：30，准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝2040＝12.答案：122．(2019·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为________．解析：因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以0m8，|3＋4－1|2m，解得0m32，所以所求概率P＝328.答案：328角度一与平面图形面积有关的几何概型(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3与面积有关的几何概型(多维探究)【解析】法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12bc，区域Ⅱ的面积S2＝12π×c22＋12π×b22－π×a222－12bc＝18π(c2＋b2－a2)＋12bc＝12bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－π×（2）22－2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝π×（2）22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝2π＋2，p3＝π－2π＋2，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.【答案】A角度二与线性规划知识交汇命题的几何概型(2019·广州综合测试)在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为()A.14B.12C.23D.34【解析】依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝S阴影S正方形＝12×12×112＝14.【答案】A与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A．3π10B．3π20C．1－3π10D．1－3π20解析：选D.如图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，所以内切圆的面积为πr2＝9π，所以豆子落在内切圆外的概率P＝1－9π12×8×15＝1－3π20.2.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝1x，y＝－1x，y＝x，y＝－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.18C.π4D.π8解析：选A.根据图象的对称性知，黑色部分的面积为圆面积的14，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14，故选A.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为()A.34B.23C.13D.12与体积有关的几何概型(师生共研)【解析】因为VF­AMCD＝13×S四边形AMCD×DF＝14a3，VADF­BCE＝12a3，所以它飞入几何体F­AMCD内的概率为14a312a3＝12.【答案】D与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．π12B．1－π12C．π6D．1－π6解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.