2020版高考数学大一轮复习 第十一章 统计与统计案例 第3讲 变量间的相关关系、统计案例课件 理

第3讲变量间的相关关系、统计案例第十一章统计与统计案例1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是___________；与函数关系不同，___________是一种非确定性关系．相关关系相关关系2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有___________________，这条直线叫____________．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为__________，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为___________．(3)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝，a^＝____________．线性相关关系回归直线正相关负相关y－－b^x－(4)相关系数当r0时，表明两个变量________；当r0时，表明两个变量_________．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性______．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于_______时，认为两个变量有很强的线性相关性．正相关负相关越强0.753．独立性检验(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：y1y2总计x1ab_______x2cdc＋d总计a＋c_______a＋b＋c＋d(2)K2统计量K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．a＋bb＋d判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．()(2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．()(4)事件X，Y的关系越密切，由观测数据计算得到的K2的观测值越大．()(5)通过回归方程y^＝b^x＋a^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是()A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200解析：选A.因为商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，所以b^0，排除B，D.又因为x＝0时，y0，所以应选A.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多少的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．()附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%解析：选C.因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1a2173x222527总计b46则表中a、b处的值分别为________．解析：因为a＋21＝73，所以a＝52.又因为a＋2＝b，所以b＝54.答案：52、54已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y^＝0.95x＋a^，则a^＝________．x0134y2.24.34.86.7解析：由已知得x－＝2，y－＝4.5，因为回归方程经过点(x－，y－)，所以a^＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：2.6[典例引领]已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关相关关系的判断【解析】因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝b^y＋a^，b^0，则z＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^，故x与z负相关．【答案】C判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r0时，正相关；r0时，负相关．(3)线性回归方程中：b^0时，正相关；b^0时，负相关．[通关练习]1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．2．某公司在2017年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则()A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系解析：选C.月收入的中位数是15＋172＝16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．(高频考点)线性回归问题是高考中的热点问题，考查形式可以是小题，也可以是解答题．高考中对线性回归问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)由回归直线方程求参数值；(2)求回归直线方程；(3)利用回归方程进行预测．线性回归方程及其应用[典例引领]角度一由回归直线方程求参数值(2017·高考山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知i＝110xi＝225i＝110yi＝1600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160B．163C．166D．170【解析】由题意可知y^＝4x＋a^，又x－＝22.5，y－＝160，因此160＝22.5×4＋a^，所以a^＝70，因此y^＝4x＋70.当x＝24时，y^＝4×24＋70＝96＋70＝166.【答案】C角度二、三求回归直线方程并进行预测(2016·高考全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i＝17yi＝9.32，i＝17tiyi＝40.17,i＝17（yi－y－）2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【解】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得2.89，r＝2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y－＝9.327≈1.331及(1)得b^＝＝2.8928≈0.103，a^＝y－－b^t－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．求回归直线方程的步骤[提醒]利用回归直线方程进行预测是对总体的估计，此估计值不是准确值．(2018·高考全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；独立性检验(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.【解】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2＝200×（62×66－34×38）2100×100×96×104≈15.705.由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.340.5，箱产量