2020版高考数学大一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第5讲 数学归纳法课件 理 新人教A

第5讲数学归纳法第十二章复数、算法、推理与证明数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋n（n－1）2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝()A．a1＋(k－1)dB．k（a1＋ak）2C．ka1＋k（k－1）2dD．(k＋1)a1＋k（k＋1）2d解析：选C.假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋k（k－1）2d.(2019·台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，等式左边是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n＝1时，等式的左边应为1＋a＋a2，故选C.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．答案：(2k＋2)＋(2k＋3)用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是________．解析：因为n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立．所以n的第一个取值应是3.答案：3[典例引领]用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n（2n＋2）＝n4（n＋1）(n∈N*)．用数学归纳法证明等式【证明】(1)当n＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14×（1＋1）＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＝k4（k＋1），则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＋12（k＋1）[（2（k＋1）＋2]＝k4（k＋1）＋14（k＋1）（k＋2）＝k（k＋2）＋14（k＋1）（k＋2）＝（k＋1）24（k＋1）（k＋2）＝k＋14（k＋2）＝k＋14（k＋1＋1）.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明等式的注意点(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．(3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f（k＋1）－1k＋1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，所以当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．[典例引领]已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n3，g(n)＝32－12n2，n∈N*.(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．用数学归纳法证明不等式【解】(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1，2，3时，不等式显然成立，②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k3＜32－12k2.那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋1（k＋1）3＜32－12k2＋1（k＋1）3.因为12（k＋1）2－12k2－1（k＋1）3＝k＋32（k＋1）3－12k2＝－3k－12（k＋1）3k2＜0，所以f(k＋1)＜32－12（k＋1）2＝g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．用数学归纳法证明不等式的注意点(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1＝a2n，求证：当n∈N*时，anan＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程a22＋a2－1＝0的正根，所以a2＝5－12，即a1a2成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤akak＋1，所以a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)0，又ak＋1ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋10，所以ak＋1ak＋2，即当n＝k＋1时，anan＋1也成立．综上，可知anan＋1对任何n∈N*都成立．[典例引领]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an2＋1an－1，且an0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．归纳—猜想—证明【解】(1)当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，即a21＋2a1－2＝0，解得a1＝3－1(a10)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0，解得a2＝5－3(a20)．同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1.(2)证明：①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式，整理得a2k＋1＋22k＋1·ak＋1－2＝0，解得ak＋1＝2k＋3－2k＋1，即n＝k＋1时通项公式仍成立．由①②可知对所有n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立．“归纳—猜想—证明”的一般步骤(1)计算(根据条件，计算若干项)．(2)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论)．(3)证明(用数学归纳法证明)．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)将n＝1，2，3分别代入可得a1＝32，a2＝74，a3＝158，猜想an＝2－12n.(2)证明：①由(1)得n＝1时，结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2－12k，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，所以2ak＋1＝2＋2－12k，ak＋1＝2－12k＋1，即当n＝k＋1时，命题也成立．根据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－12n都成立．归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．易错防范(1)数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.(2)推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．