2020版高考数学大一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 4 第4讲 直接证明与间接证明课件

第4讲直接证明与间接证明第十二章复数、算法、推理与证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是_________和________．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：___________________(顺推证法)．综合法分析法由因导果法(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：__________________(逆推证法)．2．间接证明反证法：假设原命题_________，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．执果索因法不成立矛盾判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．(教材习题改编)设m＝1＋3，n＝22，则m与n的大小关系是()A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n解析：选C.法一：m2－n2＝(1＋3)2－(22)2＝4＋23－8＝23－4＝12－16＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故选C.法二：假设m≥n，即1＋3≥22.则有(1＋3)2≥(22)2，即4＋23≥8，即23≥4，即3≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，故选C.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设___________________．答案：三角形三个内角都大于60°在不等边三角形中，a为最大边，要想得到边a的对角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc0，所以b2＋c2－a20，即a2b2＋c2.答案：a2b2＋c2(2018·高考江苏卷)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.综合法(师生共研)【证明】(1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.综合法的证题思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．(一题多解)在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2B－12sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．已知函数f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有f（x1）＋f（x2）2≥fx1＋x22.分析法(师生共研)【证明】要证明f（x1）＋f（x2）2≥fx1＋x22，即证明（3x1－2x1）＋（3x2－2x2）2≥3x1＋x22－2·x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22－(x1＋x2)≥3x1＋x22－(x1＋x2)，即证明3x1＋3x22≥3x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22≥3x1·3x2，由于x1，x2∈R时，3x10，3x20，由基本不等式知3x1＋3x22≥3x1·3x2，显然成立，故原结论成立．分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．[提醒]要注意书写格式的规范性．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2.又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．反证法(师生共研)【证明】由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．解：(1)设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn＝a1(1－qn)，当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1，所以Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q，q≠1.(2)假设数列{an＋1}是等比数列，则(a1＋1)(a3＋1)＝(a2＋1)2，即a1a3＋a1＋a3＋1＝a22＋2a2＋1，因为{an}是等比数列，公比为q，所以a1a3＝a22，a2＝a1q，a3＝a1q2，所以a1(1＋q2)＝2a1q.即q2－2q＋1＝0，(q－1)2＝0，q＝1，这与已知q≠1矛盾，所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．逻辑推理——不等式证明中的核心素养设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.【证明】由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只要证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只要证(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，只要证(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，只要证(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.由于x≥1，y≥1，上式显然成立，所以原命题成立．由不等式的证明掌握逻辑推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，对式子进行等价变形，进而通过证明不等式，体验逻辑推理的核心素养．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ca≤13.证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．