2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 5 第4讲 导数的综合应用（第2课时）利用导数探

第2课时利用导数探究函数零点问题第三章导数及其应用判断、证明或讨论函数零点个数(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．【解】(1)当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)上单调递增，在(3－23，3＋23)上单调递减．(2)证明：由于x2＋x＋10，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0.设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2（x2＋2x＋3）（x2＋x＋1）2≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－160，f(3a＋1)＝130，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象．(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．已知f(x)＝1x＋exe－3，F(x)＝lnx＋exe－3x＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解：(1)f′(x)＝－1x2＋exe＝x2ex－eex2，令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)F′(x)＝f(x)＝1x＋exe－3，由(1)得∃x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，而F(1)＝0，当x→0时，F(x)→－∞，当x→＋∞时，F(x)→＋∞，画出函数F(x)的草图，如图所示．故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．已知零点个数求参数范围(师生共研)(2019·重庆质量调研(一))设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在13，3上有两个零点，求实数a的取值范围．【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋1x＝－2x2－x＋1x，令f′(x)＝0，得x＝12(负值舍去)．当0＜x＜12时，f′(x)＞0.当x＞12时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为0，12，单调递减区间为12，＋∞.(2)令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－lnxx，令g(x)＝x－lnxx，其中x∈13，3，则g′(x)＝1－1x·x－lnxx2＝x2＋lnx－1x2，令g′(x)＝0，得x＝1，当13≤x＜1时，g′(x)＜0，当1＜x≤3时，g′(x)＞0，所以g(x)的单调递减区间为13，1，单调递增区间为(1，3]，所以g(x)min＝g(1)＝1，由于函数f(x)在13，3上有两个零点，g13＝3ln3＋13，g(3)＝3－ln33，3ln3＋13＞3－ln33，所以实数a的取值范围是1，3－ln33.已知函数(方程)零点的个数求参数范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．(2)若函数不是严格单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析．(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．解：(1)因为f(x)＝13x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，所以－1＋2＝－2a，－1×2＝b，解得a＝－12，b＝－2，由导函数的图象可知，当－1x2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－1，2)．(2)由(1)得f(x)＝13x3－12x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝76＋c，极小值为f(2)＝c－103.而函数f(x)恰有三个零点，故必有76＋c＞0，c－1030，解得－76c103.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是－76，103.