2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 3 第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题课

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题第七章不等式1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C0(0)直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的__________公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_______________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的_______________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对(x，y)有序数对(x，y)3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式名称意义可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有__________组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的___________线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解可行解常用知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)不等式x－2y＋60表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方解析：选C.画出x－2y＋60的图象如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．故选C.已知变量x，y满足约束条件2x＋y≥3，y≤x，2x－y≤8，则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．2B．11C．16D．18解析：选C.作出可行域如图中阴影部分所示，其中A(1，1)，B(8，8)，C114，－52.分析知z＝3x－y在点B(8，8)处取得最大值，即zmax＝3×8－8＝16，故选C.点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞23.答案：23，＋∞(2018·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x＋2y＝0并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点B(2，0)时，直线z＝3x＋2y在y轴上的截距最大，z取得最大值，即当x＝2，y＝0时，zmax＝3×2＋0＝6.答案：6二元一次不等式(组)表示的平面区域(典例迁移)(1)(2019·浙江嘉兴第一中学模拟)若不等式组x－y0，3x＋y3，x＋ya表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a的取值范围是()A.－∞，34B.34，＋∞C.－∞，32D.32，＋∞(2)设不等式组x≥1，x－y≤0，x＋y≤4表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是()A．[1，3]B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[2，5]D．(－∞，2]∪[5，＋∞)【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，要使可行域为三角形区域(不包括边界)，则需点A在直线x＋y＝a的右上方．由x－y＝0，3x＋y＝3可得A34，34，所以34＋34a，则a32.故选C.(2)作出不等式组x≥1，x－y≤0，x＋y≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最大值3＋21－0＝5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值2＋22－0＝2，故实数k的取值范围是[2，5]．【答案】(1)C(2)C[迁移探究](变问法)本例(2)中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何？解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B(1，3)和C(2，2)，所以|BC|＝2，所以S＝12×2×2＝1.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()解析：选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0，与选项C符合．故选C.2．若不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是()A.15B.14C.12D.15或14解析：选D.有两种情形：(1)如图(1)，由直线y＝2x与kx－y＋1＝0垂直，得k＝－12，此时三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，25，45，故三角形的面积S＝12×1×25＝15；(2)如图(2)，由直线x＝0与kx－y＋1＝0垂直，得k＝0，此时三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，12，1，故三角形的面积S＝12×1×12＝14.综上所述，该直角三角形的面积为15或14.故选D.角度一求线性目标函数的最值(范围)(2018·高考全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件2x＋y＋3≥0x－2y＋4≥0x－2≤0，则z＝x＋13y的最大值是________．求线性目标函数的最值(范围)(多维探究)【解析】法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋13y取得最大值，即zmax＝2＋13×3＝3.法二：易知z＝x＋13y在可行域的顶点处取得最大值，由2x＋y＋3＝0，x－2y＋4＝0，解得x＝－2，y＝1，代入z＝x＋13y，可得z＝－53；由2x＋y＋3＝0，x－2＝0，解得x＝2，y＝－7，代入z＝x＋13y，可得z＝－13；由x－2y＋4＝0，x－2＝0，解得x＝2，y＝3，代入z＝x＋13y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.【答案】3角度二求非线性目标函数的最值(范围)实数x，y满足x－y＋1≤0，x≥0，y≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．【解】由x－y＋1≤0，x≥0，y≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由x－y＋1＝0，y＝2，得B(1，2)，所以kOB＝21＝2，即zmin＝2，所以z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由x－y＋1＝0，x＝0，得A(0，1)，所以OA2＝(02＋12)2＝1，OB2＝(12＋22)2＝5，所以z的取值范围是[1，5]．[迁移探究1](变问法)本例条件不变，求目标函数z＝y－1x－1的取值范围．解：z＝y－1x－1可以看作过点P(1，1)及(x，y)两点的直线的斜率．所以z的取值范围是(－∞，0]．[迁移探究2](变问法)本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．解：z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1，1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ2max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ2min＝|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝12＋1＝32.角度三求参数值或取值范围(2019·湖北八校联考)已知x，y满足约束条件x－y＋4≥0，x≤2，x＋y＋k≥0，且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝________．【解析】作出不等式组x－y＋4≥0，x≤2，x＋y＋k≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋3y得y＝－13x＋z3，结合图形可知当直线y＝－13x＋z3过点A时，z最小，联立方程，得x＝2，x＋y＋k＝0，得A(2，－2－k)，此时zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.【答案】－2(1)求目标函数的最值的三个步骤①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；②平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；③求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．(2)常见的三类目标函数①截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.表示点(x，y)与(a，b)的距离的平方；③斜率型：形如z＝y－bx－a.表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．1．(2018·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y≤5，2x－y≤4，－x＋y≤1，y≥0，则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()A．6B．19C．21D．45解析：选C.作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋5y＝0，平移该直线，可知当平移后的直线过点A(2，3)时，z取得最大值，此时zmax＝21.故选C.2．(2019·福州市质量检测)已知点A(0，2)，动点P(x，y)的坐标满足条件x≥0y≤x，则|PA|的最小值是________．解析：可行域为如图所示的阴影部分，|PA|表示可行域上的点到点A(0，2)的距离，所以|PA|的最小值转化成点A到直线y＝x的距离，所以|PA|min＝|－2|2＝2.答案：23．(2019·益阳市、湘潭市调研试卷)已知变量x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≥0，2x＋y≤1，记z＝4x＋y的最大值是a，则a＝________．解析：如图所示，变量x，y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x＋y＝0，平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由2x＋y＝1，x＋y＝0，解得x＝1，y＝－1，所以A(1，－1)，此时z＝4×1－1＝3，故a＝3.答案：3(2019·武汉市部分学校调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原