2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A版

知识点考纲下载数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).了解数列是自变量为正整数的一类函数.等差数列理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.第六章数列知识点考纲下载等比数列理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指数函数的关系.第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法第六章数列1．数列的有关概念概念含义数列按照____________排列的一列数数列的项数列中的____________数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项与___________之间的关系式前n项和数列{an}中，Sn＝_______________一定顺序每一个数序号na1＋a2＋…＋an2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点____________画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用___________表示的方法递推公式使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法(n，an)公式3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝_________，n＝1，___________，n≥2.S1Sn－Sn－14．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数_________无穷数列项数_________按项与项间的大小关系分类递增数列_________其中n∈N*递减数列_________常数列_________按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限an＋1anan＋1anan＋1＝an判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．()(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．()(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．()(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a4＝()A.32B.53C.74D.85解析：选B.由题意知，a1＝1，a2＝1＋1a1＝2，a3＝1＋1a2＝32，a4＝1＋1a3＝53.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}中的第2项C．只是数列{an}中的第6项D．是数列{an}中的第2项或第6项解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．若数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)解析：法一：令f(x)＝xx＋1，则f(x)＝1－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．法二：因为an＋1－an＝n＋1n＋2－nn＋1＝1（n＋1）（n＋2）＞0，所以an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列．答案：递增数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an＝________．解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n－1.答案：n2n－1an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对an与Sn关系的考查主要有以下两个命题角度：(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；(2)利用an与Sn的关系求Sn.由an与Sn的关系求通项公式an(高频考点)[典例引领]角度一利用an与Sn的关系求通项公式an已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a2n成等差数列，则an＝________．【解析】因为an，Sn，a2n成等差数列，所以2Sn＝an＋a2n，当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a21，又a10，所以a1＝1，当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a2n－an－1－a2n－1，所以(a2n－a2n－1)－(an＋an－1)＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，又an＋an－10，n≥2，所以an－an－1＝1，n≥2，所以{an}是等差数列，其公差为1，因为a1＝1，所以an＝n(n∈N*)．【答案】n角度二利用an与Sn的关系求Sn设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．【解析】由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得1Sn＋1－1Sn＝－1，故数列1Sn是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1Sn＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－1n.【答案】－1n(1)已知Sn求an的三个步骤①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．[通关练习]1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2·3n－1，n≥2.答案：4，n＝1，2·3n－1，n≥2.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即an＋1an＝32(n≥2)，又a2＝12，所以an＝12×32n－2(n≥2)．当n＝1时，a1＝1≠12×32－1＝13，所以an＝1，n＝1，12×32n－2，n≥2，所以Sn＝2an＋1＝2×12×32n－1＝32n－1.法二：因为S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则Sn＝2(Sn＋1－Sn)，所以Sn＋1＝32Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为32的等比数列，所以Sn＝32n－1.答案：32n－13．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.解：设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，因此an＝6n－5n，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5n，n≥2.[典例引领]分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＝nn－1an－1(n≥2，n∈N*)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．由递推关系求数列的通项公式【解】(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.(2)当n≥2，n∈N*时，an＝a1×a2a1×a3a2×…×anan－1＝1×21×32×…×n－2n－3×n－1n－2×nn－1＝n，当n＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为an＝n.(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.若本例(3)条件an＋1＝3an＋2变为an＋1＝3an＋3n＋1，求an.解：因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以an＋13n＋1＝an3n＋1，所以数列{an3n}是以13为首项，1为公差的等差数列．所以an3n＝13＋(n－1)＝n－23，所以an＝n·3n－2·3n－1.由数列递推式求通项公式的常用方法[通关练习]1．(2019·兰州市诊断考试)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝1n（n＋1），当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b2017＝________．解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝11×2＋12×3＋…＋1（n－1）×n，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝11×2＋12×3＋…＋1（n－1）×n＝11－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n＝n－1n，因为b1＝0，所以bn＝n－1n，所以b2017＝20162017.答案：201620172．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________．答案：2n（n－1）2解析：由于an＋1an＝2n，故a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n－1）2，故an＝2n（n－1）2.数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度：(1)数列的单调性；(2)数列的周期性；(3)数列的最值．数列的性质(高频考点)[典例引领]角度一数列的单调性(2019·郑州市第二次质量预测)已知f(x)＝（2a－1）x＋4，x≤1，ax，x＞1，数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.12，＋∞C．(1，3)D．(3，＋∞)【解析】因为an＝f(n)，且{an}是递增数列，所以2a－1＞0，a＞1，a1＜a2，则a＞12，a＞1，2a－1＋4＜a2，解得a＞3.【答案】D角度二数列的周期性设数列{an}满足：an＋1＝1＋an1－an，a2018＝3，那么a1＝()A．－12B.12C．－13D.13【解析】设a1＝x，由an＋1＝1＋an1－an，得a2＝1＋x1－x，a3＝1＋a21－a2＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－1x，a4＝1＋a31－a3＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，a5＝1＋a41－a4＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x＝a1，所以数列{an}是周期为4的周期数列．所以a2018＝a504×4＋2＝a2＝1＋x1－x＝3.解得x＝12.【答案】B角度三数列的最值已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．【解】因为Sn＝－12n2＋kn＝－12(n－k)2＋12k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值12k2，故12k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－12n