2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文 新

第8讲直线与圆锥曲线的位置关系第九章平面解析几何1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)___________b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)______________无公共点一个交点方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a≠0Δ＞0两个_______的解______________Δ＝0两个相等的解______________Δ＜0无实数解_______(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．不相等两个交点一个交点无交点2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.常用知识拓展圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：x2a2＋y2b2＝1(ab0)k＝－b2x0a2y0双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)k＝b2x0a2y0抛物线：y2＝2px(p0)k＝py0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．()(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．()(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．()(5)过点(2，4)的直线与椭圆x24＋y2＝1只有一条切线．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围是()A.0，23B.－23，0C.－23，23D.－∞，－23∪23，＋∞解析：选C.双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈－23，23.已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于________．解析：由x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.答案：14过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→的值为________．解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－12，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得x1＋x2＝－k，x1x2＝－12，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1－12kx2－12＝(k2＋1)·x1x2－12k(x1＋x2)＋14＝－12(k2＋1)－12k·(－k)＋14＝－14.答案：－14在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－2，0)，且点P(0，2)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝8x相切，求直线l的方程．直线与圆锥曲线的位置关系(师生共研)【解】(1)根据椭圆的左焦点为F1(－2，0)，知a2－b2＝4，又点P(0，2)在椭圆上，故b＝2，所以a＝22，所以椭圆C1的方程为x28＋y24＝1.(2)因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝(4km)2－4×(1＋2k2)×(2m2－8)＝0，即m2＝8k2＋4①，把y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得ky2－8y＋8m＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝64－32km＝0，即mk＝2②，联立①②得m2＝8k2＋4，mk＝2，解得k2＝12.所以k＝22，m＝22，或k＝－22，m＝－22，所以直线l的方程为y＝22x＋22或y＝－22x－22.直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为()A．1B．1或3C．0D．1或0解析：选D.由y＝kx＋2，y2＝8x，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.2．(2019·丽水模拟)直线l：y＝k(x＋2)与曲线C：x2－y2＝1(x0)交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________．解析：曲线C：x2－y2＝1(x0)的渐近线方程为y＝±x，直线l：y＝k(x＋2)与曲线C交于P，Q两点，所以直线的斜率k1或k－1，所以直线l的倾斜角α∈π4，3π4，由于直线l的斜率存在，所以α≠π2，所以直线l的倾斜角的取值范围是π4，π2∪π2，3π4.答案：π4，π2∪π2，3π4(一题多解)(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的下顶点为A，右顶点为B，离心率e＝32.抛物线E：y＝x28的焦点为F，P是抛物线E上一点，抛物线E在点P处的切线为l，且l∥AB.(1)求直线l的方程；(2)若l与椭圆C相交于M，N两点，且S△FMN＝5314，求椭圆C的标准方程．弦长问题(师生共研)【解】(1)因为e2＝1－b2a2＝34，所以ba＝12，所以kAB＝12，又l∥AB，所以直线l的斜率为12.设Pt，t28，由y＝x28得y′＝x4，因为过点P的直线l与抛物线E相切，所以t4＝12，解得t＝2，所以P2，12，所以直线l的方程为x－2y－1＝0.(2)法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x24b2＋y2b2＝1，x－2y－1＝0，得2x2－2x＋1－4b2＝0，则x1＋x2＝1，x1x2＝1－4b22，易知Δ＝4－8(1－4b2)0，解得b218，所以|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝8b2－1.|MN|＝1＋14|x1－x2|＝528b2－1，l：x－2y－1＝0，抛物线焦点为F(0，2)，则点F到直线l的距离d＝|0－4－1|5＝5，所以S△FMN＝12|MN|×d＝12×528b2－1×5＝5314，解得b2＝4，所以椭圆C的标准方程为x216＋y24＝1.法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x24b2＋y2b2＝1，x－2y－1＝0，得2x2－2x＋1－4b2＝0，则x1＋x2＝1，x1x2＝1－4b22，易知Δ＝4－8(1－4b2)0，解得b218，所以|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝8b2－1.l：x－2y－1＝0中，令x＝0得y＝－12，则l交y轴于点D0，－12，又抛物线焦点为F(0，2)，所以|FD|＝2＋12＝52，所以S△FMN＝12|FD|×|x1－x2|＝12×528b2－1＝5314，解得b2＝4，所以椭圆C的标准方程为x216＋y24＝1.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算．(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．1．已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组y＝2（x－1），x25＋y24＝1，消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝53，x1x2＝0.则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝（1＋22）532－4×0＝553.答案：5532．(2019·太原市模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为____________．解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝16k2＋16，因为|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝6，所以41＋1k2＝6，解得k＝±2，所以|y1－y2|＝16k2＋16＝26，所以△AOB的面积为12×1×26＝6.答案：6(一题多解)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．中点弦问题(师生共研)【解】(1)由题意有a2－b2a＝22，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b1(k≠0，b1≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b1代入x28＋y24＝1，得(2k2＋1)x2＋4kb1x＋2b21－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb12k2＋1，yM＝k·xM＋b1＝b12k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则x218＋y214＝1，①x228＋y224＝1，②①－②得（x1＋x2）（x1－x2）8＋（y1＋y2）（y1－y2）4＝0，即y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2＝－12.又y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0，所以2y02x0·kAB＝－12.即kOM·kAB＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－12.处理中点弦问题常用的求解方法[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．1．直线kx－4y－k＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则弦AB的中点到直线x＋1＝0的距离等于()A．1B．2C．4D．8解析：选C.kx－4y－k＝0，即y＝14k(x－1)，即直线kx－4y－k＝0过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x