2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 8 第7讲 抛物线课件 文 新人教A版

第7讲抛物线第九章平面解析几何1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_______．(3)定点_______定直线上．相等不在2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离对称轴y＝0x＝0焦点F_______F_______F_______F_______离心率e＝____准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2p2，01－p2，00，p20，－p2标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2常用知识拓展与焦点弦有关的常用结论(以图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p0)．()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(教材习题改编)抛物线y＝－14x2的焦点坐标是()A．(0，－1)B．(0，1)C．(1，0)D．(－1，0)解析：选A.抛物线y＝－14x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1)．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：选D.设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.(2018·高考北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被拋物线y2＝4ax截得的线段长为4，则拋物线的焦点坐标为____________．解析：由题意知，a0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.答案：6(1)已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A．±33B．±34C．±1D．±3(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．抛物线的定义(典例迁移)【解析】(1)设M(x，y)，由题意知Fp2，0，由抛物线的定义，可知x＋p2＝2p，故x＝3p2，由y2＝2p×3p2，知y＝±3p.当M3p2，3p时，kMF＝3p－03p2－p2＝3，当M3p2，－3p时，kMF＝－3p－03p2－p2＝－3，故kMF＝±3.故选D.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】(1)D(2)4[迁移探究1](变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.[迁移探究2](变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(0，3)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，求点P到点(0，3)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，3)的距离．因此所求的最小值等于12＋32＝10.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知p＝12，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－p2＝12(|AA1|＋|BB1|)－14＝54.故选C.2．(2019·沈阳市质量监测(一))抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为________．解析：由y2＝6x，知p＝3，由焦半径公式得x1＋p2＝92，即x1＝3.代入得y21＝18，则|MO|＝x21＋y21＝33(O为坐标原点)，故填33.答案：33(1)(2019·哈尔滨模拟)过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12y(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8抛物线的标准方程及性质(师生共研)(3)(2019·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A.2B.12C.14D.18【解析】(1)由抛物线的定义知，过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0，3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.(2)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A4p，22，D－p2，5，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4，故选B.(3)由题意知x2＝12y，则F0，18，设P(x0，2x20)，则|PF|＝x20＋2x20－182＝4x40＋12x20＋164＝2x20＋18，所以当x20＝0时，|PF|min＝18.【答案】(1)D(2)B(3)D(1)求抛物线的标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置；②再定形：即根据条件求p.(2)抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：选D.依题意得p2＝3p－p，得p＝8，故选D.2．(2019·沈阳质量检测(一))已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．解析：如图，设△AOB的边长为a，则A32a，12a，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以14a2＝3×32a，所以a＝63.答案：63(2017·高考全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．直线与抛物线的位置关系(师生共研)【解】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1.(2)由y＝x24，得y′＝x2.设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)0，即m－1时，x1，2＝2±2m＋1.从而|AB|＝2|x1－x2|＝42（m＋1）.由题设知|AB|＝2|MN|，即42（m＋1）＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23(x＋2)，y2＝4x得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以x＝1，y＝2或x＝4，y＝4，不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM→＝(0，2)，FN→＝(3，4)，所以FM→·FN→＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23(x＋2)，y2＝4x得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以FM→＝(x1－1，y1)，FN→＝(x2－1，y2)，所以FM→·FN→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.2．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________．解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋p2＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝42，所以直线AB的斜率为k＝422－4＝－22，所以直线方程为y＝－22(x－4)，与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.答案：12