2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 5 第5讲 椭圆（第1课时）椭圆及其性质课件 文

第5讲椭圆第九章平面解析几何1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆__________为椭圆的焦点__________为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|F1、F2|F1F2|[注意]若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，则动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：__________对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)x轴、y轴标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)性质轴长轴A1A2的长为____短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝____离心率e＝____，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝________2a2b2ccaa2－b2常用知识拓展1．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦．3．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－b2a2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223解析：选C.不妨设a0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝22，所以椭圆C的离心率e＝ca＝22.(教材习题改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得5－k0，k－30，5－k≠k－3，解得3k5且k≠4.答案：(3，4)∪(4，5)(教材习题改编)椭圆C：x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为________．解析：△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.在椭圆x225＋y216＝1中，a2＝25，a＝5，所以△F1AB的周长为4a＝20.答案：20第1课时椭圆及其性质(1)椭圆x25＋y24＝1的左焦点为F，直线x＝t与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.55B.655C.855D.455(2)(2019·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．椭圆的定义及应用(典例迁移)【解析】(1)如图，设右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF′|＋|NF′|≥|MN|，所以当直线x＝t过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得△FMN的周长的最大值为4a＝45.又c＝5－4＝1，所以把x＝1代入椭圆标准方程，得15＋y24＝1，解得y＝±455.所以此时△FMN的面积S＝2×12×2×455＝855.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)C(2)3[迁移探究](变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.(1)椭圆定义的应用①椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等；②椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.(2)焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.①4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ；②焦点三角形的周长为2(a＋c)；③S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A．2B．3C．5D．7解析：选D.因为a2＝25，所以2a＝10，所以由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.2．若椭圆x236＋y216＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为()A．36B．16C．20D．24解析：选B.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2＋n2＝4(36－16)＝80，即(m＋n)2－2mn＝80，又m＋n＝2×6＝12，所以mn＝32，S△PF1F2＝12mn＝16.(1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25＋y2＝1B.x24＋y25＝1C.x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D.以上答案都不对椭圆的标准方程(师生共研)(2)(一题多解)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.x220＋y24＝1B.x225＋y24＝1C.y220＋x24＝1D.x24＋y225＝1【解析】(1)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x24＝1.(2)法一(定义法)：椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a＝25.由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入，可得（－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由题意得5a2＋3b2＝1a2－b2＝16，解得a2＝20b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.【答案】(1)C(2)C[提醒]当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0，且A≠B)．1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.x29＋y2＝1B.y29＋x25＝1C.y29＋x2＝1D.x29＋y25＝1解析：选D.由题意有62＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为x29＋y25＝1.故选D.2．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.所以所求椭圆方程为x29＋y23＝1.答案：x29＋y23＝13．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C的方程是________．解析：设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意知a2＝b2＋c2，a∶b＝2∶3，c＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.答案：x216＋y212＝1角度一求椭圆离心率的值(范围)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D.3－1椭圆的几何性质(多维探究)【解析】由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝3c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即3c＋c＝2a，所以(3＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.故选D.【答案】D角度二与椭圆性质有关的最值问题若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8【解析】由椭圆x24＋y23＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.【答案】C(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝ca＝1－b2a2直接求解；②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系；②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3，0)B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝b2＋c2＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，直线l：2x－y＝0交椭圆C于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，若点F到直线l的距离不小于2，则椭圆C的离心率e的取值范围是()A.