2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 2 第2讲 两直线的位置关系课件 文 新人教A版

第2讲两直线的位置关系第九章平面解析几何1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行_________k1与k2都不存在垂直_________k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－12.两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝__________________________点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____________线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝_________|Ax0＋By0＋C|A2＋B2（x2－x1）2＋（y2－y1）2|C1－C2|A2＋B2常用知识拓展直线系方程1．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．2．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(教材习题改编)直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l的斜率是－32，因此直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1解析：选C.由题意知|a－2＋3|2＝1，所以|a＋1|＝2，又a＞0，所以a＝2－1.(教材习题改编)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是________．解析：由直线l1与l2平行，可得a（a＋1）＝2×3，a×1≠2，解得a＝－3.答案：－3直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．解析：联立两直线方程2x－y＝－10，y＝x＋1，解得x＝－9，y＝－8.代入y＝ax－2得a＝23.答案：23(2019·河北省五校联考(二))直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件两条直线平行与垂直(师生共研)【解析】由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.【答案】C两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒]判断两条直线位置关系应注意：(1)注意斜率不存在的特殊情况．(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为()A．7B．9C．11D．－7解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，所以直线方程为x－2y＋7＝0.(2)AB中点为1＋32，2＋12，即2，32，直线AB斜率kAB＝2－11－3＝－12，故线段AB垂直平分线的斜率k＝2，所以其方程为y－32＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.(1)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n＝()A．0B．1C．－2D．－1(2)已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4B．3C．2D．1距离公式(师生共研)【解析】(1)因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是5，所以|m＋3|1＋4＝5，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.(2)设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝22.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程12×22h＝2，即h＝2.由点到直线的距离公式得2＝|t＋t2－2|2，即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．【答案】(1)C(2)A两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．1．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[－10，10]B．[－10，5]C．[－5，5]D．[0，10]解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－32＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋32|，解得c＝－154，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.答案：12x＋8y－15＝03．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．对称问题(典例迁移)【解】(1)设A′(x，y)，由已知y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.所以A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.[迁移探究](变问法)在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．解：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0.答案：3x＋4y＋5＝02．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．解析：由题意得线段AB的中点－12，2在直线y＝kx＋b上，故23·k＝－1，－12k＋b＝2，解得k＝－32，b＝54，所以直线方程为y＝－32x＋54.令y＝0，即－32x＋54＝0，解得x＝56，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为56.答案：56妙用直线系求直线方程(一题多解)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解】法一：将直线l1，l2的方程联立，得3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，即直线l1，l2的交点为(－1，2)．由题意得直线l3的斜率为35，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－53，则直线l的方程是y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋c＝0，将直线l1，l2的方程联立，得3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋c＝0，解得c＝－1，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝15，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.(1)本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l1与l2的交点坐标，方便简捷，是最优解法．(2)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.(1)过P与l平行的直线方程为____________；(2)过P与l垂直的直线方程为____________．解析：由x＋y－4＝0，x－y＋2＝0得x＝1，y＝3，所以l1与l2的交点为(1，3)．(1)设直线方程为2x－y＋c＝0，则2－3＋c＝0，所以c＝1，所以所求直线方程为2x－y＋1＝0.(2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，所以c＝－7，所以所求直线方程为x＋2y－7＝0.答案：(1)2x－y＋1＝0(2)x＋2y－7＝0