2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 9 第9讲 对数函数课件 文 新人教A

第9讲对数函数第二章函数概念与基本初等函数1．对数函数的图象与性质a10a1图象a10a1性质定义域：________________值域：R过定点___________当x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0当0x1时，y0在(0，＋∞)上是___________在(0，＋∞)上是__________2.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线___________对称．(0，＋∞)(1，0)增函数减函数y＝x判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2x及y＝log133x都是对数函数．()(2)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0，1)B．[0，1)C．(0，1]D．[0，1]解析：选B.因为y＝xln(1－x)，所以x≥0，1－x0，解得0≤x1.函数y＝3＋loga(x＋3)的图象必经过定点的坐标为()A．(－2，3)B．(－1，4)C．(0，3)D．(－2，2)解析：选A.因为当x＝－2时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必经过定点(－2，3)，故选A.函数f(x)＝log2x2的单调递增区间为____________．解析：设t＝x2，因为y＝log2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递增区间，即所求区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)已知函数f(x)＝log12x，x∈[1，2]，则f(x)的值域是____________．解析：因为x∈[1，2]，所以log12x∈[－1，0]，则f(x)的值域是[－1，0]．答案：[－1，0]对数函数的图象及应用(典例迁移)(1)函数y＝lg|x－1|的图象是()(2)若方程4x＝logax在0，12上有解，则实数a的取值范围为____________．【解析】(1)因为y＝lg|x－1|＝lg（x－1），x1，lg（1－x），x1.当x＝1时，函数无意义，故排除B，D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知，只需两图象在0，12上有交点即可，则f12≥g12，即2≥loga12，则a≤22，所以a的取值范围为0，22.【答案】(1)A(2)0，22[迁移探究](变条件)若本例(2)变为：若不等式x2－logax0对x∈0，12恒成立，求实数a的取值范围．解：由x2－logax0得x2logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈0，12时，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)＝x2在0，12上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a1时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x∈0，12上恒成立，需f112≤f212，所以有122≤loga12，解得a≥116，所以116≤a1.即实数a的取值范围是116，1.利用对数函数的图象求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()解析：选C.函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.2．(2019·湖北华师附中调研)使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是____________．解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是(－1，0)．答案：(－1，0)对数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较对数值的大小(2018·高考天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab【解析】因为a＝log2e1，b＝ln2∈(0，1)，c＝log1213＝log23log2e1，所以cab，故选D.【答案】D角度二解简单的对数不等式或方程(一题多解)已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)满足f2af3a，则f1－1x0的解集为()A．(0，1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】法一：因为函数f(x)＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a3a且f2af3a，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可得f1－1x0⇒01－1x1，所以x1，故选C.法二：由f2af3a知loga2aloga3a，所以loga2－1loga3－1，所以loga2loga3，所以0a1，由f1－1x0得loga1－1x0，所以01－1x1，即x1.【答案】C角度三对数型函数的综合问题已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0，且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，所以x＋10，1－x0，解得－1x1.故所求函数的定义域为{x|－1x1}．(2)f(x)为奇函数．证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1x1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)为奇函数．(3)因为当a1时，f(x)在定义域{x|－1x1}上是增函数，由f(x)0，得x＋11－x1，解得0x1.所以x的取值范围是(0，1)．(1)比较对数值的大小的方法(2)解对数不等式的函数及方法①形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；②形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．(3)解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：选B.因为a＝log20.2log21＝0，b＝20.220＝1，c＝0.20.30.20＝1且c0，所以acb，故选B.2．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2]B．[0，2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选D.当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x1.综上可知x≥0.3．已知函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x1时，f(x)＝loga(x－1)，且f(3)＝－1，若x1＋x22，(x1－1)(x2－1)0，则()A．f(x1)＋f(x2)0B．f(x1)＋f(x2)0C．f(x1)＋f(x2)＝0D．以上都有可能解析：选B.由题设可得loga2＝－1，故a＝12，所以函数f(x)＝loga(x－1)在(1，＋∞)上是减函数，又x1＋x22，(x1－1)(x2－1)0，不妨设x1x2，则x11x2，x22－x1，所以f(x2)f(2－x1)，又函数f(x)的图象关于(1，0)对称，所以f(x1)＝－f(2－x1)，f(x1)＋f(x2)＝－f(2－x1)＋f(x2)0.故选B.分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a0且a≠1)在区间[12，23]上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是()A．(13，1)B．[13，1)C．(23，1)D．[23，1)【解析】当0a1时，函数f(x)在区间[12，23]上是减函数，所以loga(43－a)0，即043－a1，解得13a43，故13a1；当a1时，函数f(x)在区间[12，23]上是增函数，所以loga(1－a)0，即1－a1，解得a0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是(13，1)．【答案】A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y＝b＋ax2＋2x(a，b是常数且a0，a≠1)在区间[－32，0]上有ymax＝3，ymin＝52，试求a，b的值．解：令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，因为x∈[－32，0]，所以t∈[－1，0]．(1)若a1，函数f(x)＝at在[－1，0]上为增函数，所以at∈[1a，1]，则b＋ax2＋2x∈[b＋1a，b＋1]，依题意得b＋1a＝52，b＋1＝3，解得a＝2，b＝2.(2)若0a1，函数f(x)＝at在[－1，0]上为减函数，所以at∈[1，1a]，则b＋ax2＋2x∈[b＋1，b＋1a]，依题意得b＋1a＝3，b＋1＝52，解得a＝23，b＝32.综上，a，b的值为a＝2，b＝2或a＝23，b＝32.