2020版高考数学大一轮复习 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式课件 理 新人教A版选修4-5

知识点考纲下载绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.选修4-5不等式选讲知识点考纲下载不等式的证明了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n1＋nx(x－1，x≠0，n为大于1的正整数)．了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．选修4-5不等式选讲知识点考纲下载柯西不等式与排序不等式了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3)（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2.(此不等式通常称为平面三角不等式)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：会用向量递归方法讨论排序不等式.选修4-5不等式选讲第1讲绝对值不等式选修4-5不等式选讲1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_______，当且仅当_________时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么_______________________，当且仅当__________________时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a__________________________|x|a_______________________________________(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔____________________；②|ax＋b|≥c⇔____________________________．{x|－axa}∅∅{x|xa或x－a}{x|x∈R且x≠0}R－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c3．|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分区法”求解，体现了分类讨论的思想．法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．解不等式：|x－2|＋|x＋3|7.解：因为|x－2|＋|x＋3|＝（x－2）＋（x＋3），x≥2，－（x－2）＋（x＋3），－3≤x2，－（x－2）－（x＋3），x－3.所以原不等式可化为x≥2，2x＋17或－3≤x2，57或x－3，－2x－17.解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x－4或x3}．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解：由不等式的性质得|x＋3|－|x－1|＝|x＋3|－|1－x|≤|(x＋3)＋(1－x)|＝4所以a2－3a≥4，解得a≥4或a≤－1.对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．解：由|x－1|≤1与|y－2|≤1，可知不等式构成的区域为四条直线x＝0，x＝2，y＝1，y＝3围成的一个矩形区域，而|x－2y＋1|的最大值即为x－2y＋1的最大值或最小值对应的绝对值，为此可转化为求x－2y＋1的最值．记u＝x－2y＋1，即y＝12x＋12(1－u)，由数形结合易知，当直线经过不等式值域的区域内的点(2，1)与(0，3)时，y对应有最小值与最大值，此时对应的u值为1与－5，故|x－2y＋1|的最大值为5.(2019·长沙市统一模拟考试)已知f(x)＝|x－a|＋|x－3|.(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)≤3的解集非空，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2，故f(x)的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．(2)f(x)＝|x－a|＋|x－3|≥|(x－a)－(x－3)|＝|3－a|，若不等式f(x)≤3的解集非空，则|3－a|≤3，即－3≤3－a≤3，因此0≤a≤6，所以a的取值范围是[0，6]．[典例引领](2019·沈阳质量检测(一))已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．含绝对值不等式的解法【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，当x1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；当－12≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－12≤x≤0；当x－12时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x－12.所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．(2)由|x－a|＋3x≤0，可得x≥a，4x－a≤0或xa，2x＋a≤0，即x≥a，x≤a4或xa，x≤－a2.当a0时，不等式的解集为x|x≤－a2.由－a2＝－1，得a＝2.当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．当a0时，不等式的解集为x|x≤a4.由a4＝－1，得a＝－4.综上，a＝2或a＝－4.[通关练习]1．解不等式|x＋3|－|2x－1|x2＋1.解：(1)当x－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x10，所以x－3.(2)当－3≤x12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x－25，所以－3≤x－25.(3)当x≥12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)x2＋1，解得x2，所以x2.综上可知，原不等式的解集为x|x－25或x2.2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．解：(1)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5，故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}；f(x)＜－1的解集为x|x＜13或x＞5.所以|f(x)|＞1的解集为{x|x＜13或1＜x＜3或x＞5}．[典例引领]设不等式|x－2|a(a∈N*)的解集为A，且32∈A，12∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．绝对值不等式性质的应用【解】(1)因为32∈A，且12∉A，所以32－2a，且12－2≥a，解得12a≤32，又因为a∈N*，所以a＝1.(2)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.当且仅当(x＋1)(x－2)≤0即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.证明：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.所以由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.[典例引领](2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．绝对值不等式的综合应用【解】(1)f(x)＝－3，x＜－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322＋54≤54，且当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1x1，2，x≥1.故不等式f(x)1的解集为{x|x12}．(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；若a0，|ax－1|1的解集为0x2a，所以2a≥1，故0a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．