2020版高考数学大二轮复习 专题五 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合问题 第2课时 圆锥曲线的定点

考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶中P3，P4的坐标P3，P4关于y轴对称分析判断P2在椭圆上信息❷中l与椭圆交于A，B两点设出l的方程联立求出A、B点坐标注意判断l的斜率是否存在要分类讨论信息❸中P2A，P2B的斜率和为－1设出P2A、P2B的斜率为k1，k2利用k1＋k2＝－1建立k、m的关系，求定点[规范解答](1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由1a2＋1b21a2＋34b2知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.………………2分因此1b2＝1，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.………………4分(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22，t，－4－t22.则由k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).………………8分将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋m－1x1＋x2x1x2.………………10分由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.解得k＝－m＋12.当且仅当m－1时，Δ0，于是l：y＝－m＋12x＋m，即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1).……………………12分[类题通法]动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk＋n，得y＝k(x＋m)＋n，故动直线过定点(－m，n)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2019·乌鲁木齐一模)椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过C的长轴，短轴端点的一条直线方程是x＋2y－2＝0.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,2)作直线交椭圆C于A，B两点，若点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点．解析：(1)对于x＋2y－2＝0，当x＝0时，y＝2；当y＝0，x＝2，所以a＝2，b＝2.∴椭圆的方程为x24＋y22＝1.(2)证明：设直线AB：y＝kx＋2(k≠0)，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则B′(－x2，y2)，联立直线AB与椭圆得y＝kx＋2，x2＋2y2＝4，得(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0，∴Δ＝64k2－16(1＋2k2)0，解得k212，∴x1＋x2＝－8k1＋2k2，x1x2＝41＋2k2，∴kAB′＝y1－y2x1＋x2，∴直线AB′：y－y1＝y1－y2x1＋x2(x－x1)，∴令x＝0，得y＝x1y2＋x2y1x1＋x2＝x1kx2＋2＋x2kx1＋2x1＋x2＝2kx1x2x1＋x2＋2＝2k·41＋2k2－8k1＋2k2＋2＝－1＋2＝1，∴直线AB′过定点Q(0,1)．解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶中给出椭圆条件建立a，b，c的方程组求解定方程信息❷给出A，B，N点设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，Nx0，－14x0信息❸NA→＝mAM→，NB→＝nBM→建立N，M，A及N，B，M的坐标关系信息❹求m＋n为定值由信息❸化简后转为方程两根之和1.条件中长轴长为2a，易出错误为a值2.注意NA→＝mAM→，NB→＝nBM→结构类似，主要起到建立N，M与A，B点关系[规范解答](1)由已知得，2a＝8，a＝2c，则a＝4，c＝2，……………2分又b2＝a2－c2，∴b2＝12，……………………3分∴椭圆的标准方程为：x216＋y212＝1.……………………4分(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Nx0，－14x0，由NA→＝mAM→，得x1－x0，y1＋14x0＝m1－x1，3－y1，……………………5分∴x1＝m＋x0m＋1，y1＝3m－14x0m＋1，……………………6分∴Am＋x0m＋1，3m－14x0m＋1，……………………7分∵点A在椭圆x216＋y212＝1上，∴m＋x0m＋1216＋3m－14x0m＋1212＝1，得到9m2＋96m＋48－134x20＝0；……………………9分同理，由NB→＝nBM→，可得9n2＋96n＋48－134x20＝0……………………10分∴m，n可看作是关于x的方程9x2＋96x＋48－134x20＝0的两个根，……………………11分则m＋n＝－323为定值.……………………12分[类题通法]定值问题在求解时注意“设而不求”思想方法的灵活运用，即引入参变量，用它来表示有关量，进而看能否把变量消去．“先猜后证”法是解决这类问题的有效方法，也就是先由特殊情形探求出定值或定点，进而证明它适用所有情形．(2019·大连模拟)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：1|AB|＋1|CD|为定值．解析：(1)由题意可知2b＝2，b＝1，又椭圆离心率为22，则a＝2，故椭圆C的方程为y22＋x2＝1.(2)证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，1|AB|＋1|CD|＝324当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋1y22＋x2＝1消y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，∴x1＋x2＝－2kk2＋2，x1x2＝－1k2＋2，∴|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝22k2＋1k2＋2同理可得：|CD|＝22k2＋12k2＋1，∴1|AB|＋1|CD|＝k2＋222k2＋1＋2k2＋122k2＋1＝3k2＋122k2＋1＝324.1．存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．(3)得出结论．2．解决存在性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶中M关于P的对称点为N由M、P坐标利用对称知识表示出点N坐标中点公式的运用信息❷中ON交C于点H表示ON方程联立抛物线可得H坐标方程联立后可直接求解信息❸直线MH与C的交点问题设出MH方程，联立分析联立后直接求解判断[规范解答](1)如图，由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，…………2分故直线ON的方程为y＝ptx，……………………4分将其代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.……………………6分所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.……………………7分(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．………9分代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．……………………12分(2019·河南模拟)已知曲线C1：x2＋y2＝r2(r0)和C2：x2a2＋y2b2＝1(ab0)都过点P(0，－2)，且曲线C2的离心率为32.(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1＝4k20时，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解析：(1)曲线C1：x2＋y2＝r2(r0)和C2：x2a2＋y2b2＝1(ab0)都过点P(0，－2)，∴r＝2，b＝2，∴曲线C1的方程为x2＋y2＝4∵曲线C2的离心率为32，∴e2＝c2a2＝1－b2a2＝34，∴a＝4，∴曲线C2的方程x216＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为y＝k1x－2，代入到x2＋y2＝4，消去y，可得(1＋k21)x2－4k1x＝0，解得x＝0或x1＝4k11＋k21，∴y1＝2k21－21＋k21，直线PB的方程为y＝k2x－2，代入到方程x216＋y24＝1，消去y，可得(1＋4k22)x2－16k2x＝0，解得x＝0或x2＝16k21＋4k22，∴y2＝8k22－21＋4k22，∵k1＝4k2，∴直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1＝－1k1，故直线AB的方程为y－2k21－21＋k21＝－1k1x－4k11＋k21，即y＝－1k1x＋2，所以直线AB恒过定点(0,2)．