2020版高考数学大二轮复习 专题五 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合问题 第1课时 圆锥曲线的最值

考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题[考情分析·明确方向]1．解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解．2．解析几何综合问题主要利用直线与圆锥曲线的位置关系考查最值范围，定点定值及探索性问题，着重考查学生数学抽象、数学建模、逻辑推理及数学运算等核心素养．第1课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题求解圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶动点M满足不变关系条件坐标化，化简可求曲线C信息❷证明△PQG是直角三角形求PQ、PG的斜率信息❸求△PQG面积的最大值三角形的面积公式1.注意轨迹方程的完备性2.证明△PQG是直角三角形时，注意式子的化简与运算3.注意k的取值[规范解答](1)由题设得yx＋2·yx－2＝－12，化简得x24＋y22＝1(|x|≠2)，……………………3分所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.………………5分(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k＞0)．由y＝kx，x24＋y22＝1得x＝±21＋2k2.………………7分设u＝21＋2k2，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为k2，方程为y＝k2(x－u)．由y＝k2x－u，x24＋y22＝1，得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(i)………………9分设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(i)的解，故xG＝u3k2＋22＋k2，由此得yG＝uk32＋k2.从而直线PG的斜率为uk32＋k2－uku3k2＋22＋k2－u＝－1k.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u1＋k2，|PG|＝2ukk2＋12＋k2，所以△PQG的面积S＝12|PQ||PG|＝8k1＋k21＋2k22＋k2＝81k＋k1＋21k＋k2.………………10分设t＝k＋1k，则由k＞0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝8t1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为169.因此，△PQG面积的最大值为169.……………………12分[类题通法]1.几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来解决，这是几何法，充分体现了数形结合思想．2．代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常见方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等．充分体现了函数与方程思想．(2019·合肥二模)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．解析：(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C相切．由x－y＋1＝0y2＝2px消去x得，y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由ty＝x－1y2＝4x消去x得，y2－4ty－4＝0，∴y1＋y2＝4t，从而x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，dA＋dB＝2d＝2·|2t2－2t＋2|2＝22|t2－t＋1|＝22t－122＋34，∴当t＝12时，可使A、B两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为322.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思路是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶已知焦点坐标及经过点E标准方程的选择及待定系数法求方程信息❷给出直线l满足条件直线方程的设法信息❸条件中AF1→＝λF1B→通过向量式建立坐标关系，从而建立等量关系信息❹求k的范围建立关于k的不等式1.直线l的方程选取及斜率取值判断2.建立k，λ等量关系后利用λ不等关系建立k的不等式的变形技巧[规范解答](1)由2a＝|EF1|＋|EF2|，a2＝b2＋c2，c＝1，…………………2分解得a＝2，c＝1，b＝3，……………………3分所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.……………………4分(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k0)，5分联立方程，得y＝kx＋1，x24＋y23＝1，整理得3k2＋4y2－6ky－9＝0，Δ＝144k2＋1440，……………………7分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝6k3＋4k2，y1y2＝－9k23＋4k2，……………………8分又AF1→＝λF1B→，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝－λ1－λ2(y1＋y2)2，……………………9分则1－λ2λ＝43＋4k2，λ＋1λ－2＝43＋4k2，……………………10分因为2≤λ3，所以12≤λ＋1λ－243，……………………11分即12≤43＋4k243，且k0，解得0k≤52.故直线l的斜率k的取值范围是0，52.………………12分[类题通法]圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2019·蚌埠一模)已知抛物线C：x2＝2py(p0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．解析：(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10.∵抛物线的准线为y＝－p2，∴9＋p2＝10，解得，p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：y＝kx＋1.设Ax1，x214，Bx2，x224，由y＝kx＋1x2＝4y消去y得，x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由于抛物线C也是函数y＝14x2的图象，且y′＝12x，则PA：y－x214＝12x1(x－x1)．令y＝0，解得x＝12x1，∴P12x1，0，从而|AP|＝14x214＋x21.同理可得，|BQ|＝14x224＋x22，∴|AP|·|BQ|＝116x1x224＋x214＋x22＝116x1x22[16＋4x21＋x22＋x1x22]＝21＋k2.∵k2≥0，∴|AP|·|BQ|的取值范围为[2，＋∞)．圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶给出y2＝4x可求F坐标、准线方程信息❷给出过焦点的动直线判断方程，设出适当形式信息❸AB⊥HB条件坐标化转化为kAB×kHB＝－1信息❹要证∠AHF＝∠BHF转化为证明kAH＋kBH＝0信息❺求AF－BF的值利用定义表示|AF|－|BF|，然后坐标化变形化简1.设直线l的方程时注意斜率k是否存在2.注意抛物线定义的应用[规范解答](1)证明：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，H(－1,0)，………………1分设Ay214，y1，By224，y2，………………2分直线AB的方程为x＝my＋1，………………3分代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0，可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，………………4分则kAH＋kBH＝y1y214＋1＋y2y224＋1＝4y1y2y1＋y2＋16y1＋y2y21＋4y22＋4＝－16·4m＋16·4m4＋y214＋y22＝0，即kAH＝－kBH，………………5分则∠AHF＝∠BHF.………………6分(2)由AB⊥HB，可得kAB·kHB＝－1，即kAB＝y1－y2y214－y224＝4y1＋y2，kHB＝y2y224＋1＝4y24＋y22，………………8分可得y1＋y2＝－16y24＋y22，………………9分则|AF|－|BF|＝y214＋1－y224－1＝14(y1＋y2)(y1－y2)………10分＝－4y2y1－y24＋y22＝－4y2y1－y224＋y22＝－4－4－y224＋y22＝4.………12分[类题通法]圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.解析：(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为1，22或1，－22.又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－22x＋2或y＝22x－2.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜2，x2＜2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝y1x1－2＋y2x2－2.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝2kx1x2－3kx1＋x2＋4kx1－2x2－2.将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－12k3＋8k3＋4k2k2＋1＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.