2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题6 函数与导数 第3讲 导数的简单应用课件 文

第3讲导数的简单应用导数的运算与导数的几何意义考情调研考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1.导数的基本运算．2.求过某点的切线斜率(方程)等问题．3.由曲线的切线方程求参数.[题组练透]1．若直线y＝kx－2与曲线y＝1＋3lnx相切，则k＝()A．3B.13C．2D.12解析：设切点为(x0，kx0－2)，∵y′＝3x，∴3x0＝k①，kx0－2＝1＋3lnx0②，由①得kx0＝3，代入②得1＋3lnx0＝1，则x0＝1，k＝3，故选A.答案：A2．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b＝________.解析：由题可得y′＝1x(x0)，因为y＝x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，且斜率是1，所以1x＝1，即x＝1，此时y＝ln1＝0，所以切点坐标(1,0)，代入切线方程得b＝－1.答案：－13．(2019·三明质检)曲线y＝lnx－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝________.解析：因为y＝lnx－ax，所以y′＝1x－a，因此其在x＝2处的切线斜率为k＝12－a，又曲线y＝lnx－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，所以12－a＝a，因此a＝14.答案：14[题后悟通]1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2.由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键类型解题关键已知曲线在某点处的切线求参数关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围导数与函数的单调性考情调研考向分析考查函数的单调性，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，题型以解答题为主，一般难度较大.1.求函数的单调区间．2.原函数与导函数图象间的关系．3.已知单调性求参数的范围.[题组练透]1．(2019·新乡模拟)若函数f(x)＝aex＋sinx在－π2，0上单调递增，则a的取值范围为()B．[－1,1]C．[－1，＋∞)D．[0，＋∞)解析：依题意得：f′(x)＝aex＋cosx≥0，即a≥－cosxex对x∈－π2，0恒成立，设g(x)＝－cosxex，g′(x)＝2sinx＋π4ex，当x∈－π2，－π4时，g′(x)0；当x∈－π4，0时，g′(x)0，故g(x)max＝maxg－π2，g0＝0，则a≥0.故选D.答案：D2．(2019·宁德质检)函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)f(x)在R上恒成立，且f(1)＝e，则下列判断一定正确的是()A．f(0)1B．f(－1)f(0)C．f(0)0D．f(－1)f(0)解析：令函数F(x)＝fxex，则F′(x)＝f′x－fxex，∵f′(x)＞f(x)，∴F′(x)＞0，故函数F(x)是定义在R上的增函数，∴F(1)＞F(0)，即f1e＞f0e0，故有f(1)＞ef(0)；又f(1)＝e，∴f(0)1，故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln－a2.当x∈－∞，ln－a2时，f′(x)＜0；当x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)＞0.故f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．[题后悟通]求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视函数定义域的限制．导数与函数的极值、最值考情调研考向分析考查函数的极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，题型以解答题为主，一般难度较大.1.利用导数研究函数的极值、最值．2.已知函数的极值或最值求参数的取值范围.[题组练透]1．函数f(x)＝13x3－4x＋4在[0,3]上的最小值为()A．4B．1C．－43D．－83解析：因为f(x)＝13x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，在[0,2]上递减，在(2,3)上递增，因此可知函数在给定区间的最小值为x＝2时取得，且为－43，故选C.答案：C2．(2019·石家庄模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf′(x)的图象可能是()解析：由函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以当x1时，f′(x)0；x＝1时，f′(x)＝0；x1时，f′(x)0；所以当x0时，y＝－xf′(x)0；当0＜x＜1时，y＝－xf′(x)0；当x＝0或x＝1时，y＝－xf′(x)＝0，当x＞1时，y＝－xf′(x)0，可得选项B符合题意，故选B.答案：B3．若直线y＝a分别与直线y＝2x－3，曲线y＝ex－x(x≥0)交于点A，B，则|AB|的最小值为()A．6－3ln3B．3－32ln3C．eD．0.5e解析：作出两个曲线的图象如图，设A(x1，a)，B(x2，a)，则x1＞x2，则2x1－3＝ex2－x2，即x1＝12(ex2－x2＋3)，则|AB|＝x1－x2＝12(ex2－x2＋3)－x2＝12(－3x2＋ex2＋3)，设f(x)＝12(ex－3x＋3)，x≥0，函数的导数f′(x)＝12(－3＋ex)，由f′(x)＞0得x＞ln3，f(x)为增函数，由f′(x)＜0得0≤x＜ln3，f(x)为减函数，即当x＝ln3时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln3)＝12(3＋3－3ln3)＝3－32ln3，故选B.答案：B4．不等式kx≥sinx2＋cosx，(x0)恒成立，则k的最小值为()A.13B.23C.14D．1解析：令f(x)＝sinx2＋cosx，则f′(x)＝2cosx＋12＋cosx2，很明显函数f(x)的周期为2π，由导函数的符号可得函数在区间(0,2π)上具有如下单调性：在区间0，23π和43π，2π上单调递增，在区间23π，43π上单调递减，绘制函数图象如图所示，考查临界条件，满足题意时，直线y＝kx恒在函数f(x)＝sinx2＋cosx的图象的上方，临界条件为直线与曲线相切于点(0,0)，此时k＝f′(0)＝13，即k的最小值为13.故选A.答案：A[题后悟通]利用导数研究函数的极值、最值的注意点(1)极值：导函数的零点并不一定就是函数的极值点，因此在求得f′(x0)＝0后务必验证xx0及xx0时f′(x)的符号是否相反．(2)最值：①对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值．②求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出x的取值范围与y′的符号及y的单调区间、极值的对应表格．