2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题3 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积课

第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图考情调研考向分析空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1.根据几何体确定三视图．2.三视图中的知二求一．3.根据三视图确定几何体的形状.[题组练透]1．(2019·恩施质检)某圆锥的母线长为2，高为423，其三视图如图所示，圆锥表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆锥表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆锥侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2B．22C.8＋23D．22－3解析：因为圆锥的母线长为2，高为423，所以底面半径r＝22－4232＝23，所以底面周长为2πr＝43π，所以侧面展开图所在扇形中心角为2πr2＝43π2＝23π，由三视图可知∠MON为展开图圆心角的14.∠MON＝π6.所以从M到N的路径中，最短路径的长度为22＋22－2×2×2cosπ6＝22－3.故选D.答案：D2．(2019·江西模拟)已知一个四棱锥的三视图如图(网格中的小正方形边长为1)，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P­ABCD，在四个侧面中，有∠PBA＝∠PCD＝∠CPB＝90°，△PAD是等边三角形．所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为3.故选C.答案：C3．(2019·张家口、沧州模拟)某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和为()A．25＋2＋9B．42＋6＋4C．22＋25＋5D．42＋5＋5解析：由三视图还原几何体如下，三棱锥P­ABC即为该几何体．又由三视图可知BC＝2，底面ABC是等腰直角三角形，三棱锥的高为2，所以PA＝PC＝5，AB＝AC＝2，PB＝22＋22＋12＝3，因此该三棱锥的所有棱长之和为PA＋PB＋PC＋AB＋AC＋BC＝22＋25＋5.故选C.答案：C4．已知一个四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，其中a＋b＝10.则该四棱锥的高的最大值为________．解析：如图所示，由题意知，平面PAD⊥平面ABCD，设点P到AD的距离为x，当x最大时，四棱锥的高最大，因为PA＋PD＝a＋b＝106，所以点P的轨迹为一个椭圆，由椭圆的性质得，当a＝b时，x取得最大值52－32＝4，即该四棱锥的高的最大值为4.答案：4[题后悟通]1．识别三视图的步骤(1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置．(2)根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图．(3)被遮住的轮廓线应为虚线．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．空间几何体的表面积与体积考情调研考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1.根据三视图求几何体的表面积与体积．2.根据几何体求其表面积与体积.[题组练透]1．(2019·大连模拟)已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为()A．27πB．93πC．9πD．33π解析：由题意可知，底面半径r＝6sin30°＝3；圆锥的高h＝6cos30°＝33，∴圆锥体积V＝13πr2·h＝93π.答案：B2．(2019·武汉质检)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD中点，则四面体A­BC1M的体积等于()A.12B.14C.16D.112解析：∵M为CD中点，∴S△AMB＝12S▱ABCD＝12，又CC1⊥平面ABCD，∴VA­BC1M＝VC1­ABM＝13S△ABM＝16.故选C.答案：C3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.38πB.π4C.524πD.724π解析：观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即14，下方削去半个球，故几何体的体积为V＝π×122×2－14×π×122×2－12×43×π×123＝724π，故选D.答案：D4．(2019·汕头模拟)如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A.22π3B.23π3C.25π3D.26π3解析：由几何体的三视图，可确定该几何体为一个大球的34，和一个小球的14组合而成，由题意可得，大球的半径为2，小球的半径为1，所以该几何体的体积为34×43π×23＋14×43π×13＝253π.故选C.答案：C[题后悟通]1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．2．求空间几何体体积的常用方法公式法直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体多面体与球的切、接问题考情调研考向分析本部分是高考考查的重点、难点内容，主要涉及多面体与球的切、接问题．命题形式以选择题与填空题为主，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1.几何体与球的外接问题．2.几何体与球的内切问题.[题组练透]1．(2019·开封模拟)《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.6πB．6πC．9πD．24π解析：如图所示，该几何体为四棱锥P­ABCD.底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD.AB＝1，AD＝2，PD＝1.则该阳马的外接球的直径为PB＝1＋1＋4＝6.∴该阳马的外接球的表面积为4π×622＝6π.故选B.答案：B2．(2019·吉安模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为()A．16πB．32πC．64πD．72π解析：由三视图还原几何体如图：该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAB为等腰直角三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，棱锥的高为2，设△PAB的外心在AB的中点，正方体ABCD的中心是球心，设该四棱锥外接球的半径为R，R＝22，则该几何体的外接球的表面积为：4π×(22)2＝32π.故选B.答案：B3．(2019·武汉质检)将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为________．解析：由S＝4πR2得100π＝4πR2⇒R＝5.设球心到圆柱底面距离为d，圆柱底面半径为r，则r2＝R2－d2＝25－d2，∴圆柱体积V(d)＝πr2·2d.＝2dπ(25－d2)＝－2πd3＋50πd，V′(d)＝－6πd2＋50π.令V′(d)＝0，则d＝533，当d＝533时，圆柱体积V(d)最大，则圆柱的高为2d＝1033.答案：10334．(2019·九江模拟)已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．解析：依题意得，圆锥底面半径r＝1sin30°＝2，高h＝1sin60°＝233，设圆锥外接球半径为R，则R2＝r2＋(R－h)2，即R2＝22＋R－2332，解得R＝433，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π3.答案：64π3[题后悟通]1．空间几何体与球切、接问题的求解方法(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．(2)求解球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及切、接点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的切、接问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．2．与球有关的组合体的常用结论(1)长方体的外接球①球心：体对角线的交点．②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球①外接球：球心是正方体中心，半径r＝32a(a为正方体的棱长)．②内切球：球心是正方体中心，半径r＝a2(a为正方体的棱长)．