2020版高考数学大二轮复习 3.3 三角变换与解三角形课件 理

考点1三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[例1](1)[2019·全国卷Ⅱ]已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255(2)[2019·天津南开大学附属中学月考]已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α，β为锐角，则α＋β为()A.π4B.π4或3π4C.3π4D.π3【解析】(1)本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B.(2)∵sinα＝55，sinβ＝1010，且α，β为锐角，∴cosα＝255，cosβ＝31010，∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.故选A.【答案】(1)B(2)A化简三角函数式的规律规律解读一角一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式二名二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”三结构三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等温馨提醒(1)常用技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换等．(2)根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负『对接训练』1．[2019·山东济南长清月考]若2cos2θcosπ4＋θ＝3sin2θ，则sin2θ＝()A.13B.23C．－23D．－13解析：通解∵2cos2θcosπ4＋θ＝3sin2θ，∴2sinπ2＋2θcosπ4＋θ＝22sinπ4＋θ＝3sin2θ，∴22sinπ4＋θ＝－3cos2θ＋π2，∴23sin2θ＋π4－22sinθ＋π4－3＝0，得sinθ＋π4＝－66，∴sin2θ＝－cosπ2＋2θ＝2sin2π4＋θ－1＝－23.故选C.优解∵2cos2θcosπ4＋θ＝3sin2θ，∴2cos2θ－sin2θ22cosθ－sinθ＝3sin2θ，∴2(cosθ＋sinθ)＝3sin2θ，∴3sin22θ－4sin2θ－4＝0，得sin2θ＝－23.故选C.答案：C2．[2019·全国高考信息卷]若α为第二象限角，且sin2α＝sinα＋π2cos(π－α)，则2cos2α－π4的值为()A．－15B.15C.43D．－43解析：∵sin2α＝sinα＋π2cos(π－α)，∴2sinαcosα＝－cos2α，∵α是第二象限角，∴cosα≠0,2sinα＝－cosα，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，∴sin2α＝15，∴2cos2α－π4＝cos2α＋sin2α＝cos2α－sin2α＋2sinαcosα＝－sin2α＝－15.故选A.答案：A考点2利用正、余弦定理解三角形1．正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a：b：c＝sinA：sinB：sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.3．三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.[例2](1)[2019·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________；(2)[2019·江西南昌段考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且a＞b，则B等于()A.5π6B.π3C.2π3D.π6【解析】(1)本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查方程思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．解法一因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.解法二因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.(2)因为asinBcosC＋csinBcosA＝12b，所以由正弦定理得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝12sinB，又sinB≠0，所以sinAcosC＋cosAsinC＝12，即sin(A＋C)＝12，因为A＋C＝π－B，所以sin(π－B)＝12，即sinB＝12.又ab，所以AB，所以B为锐角，所以B＝π6.故选D.【答案】(1)63(2)D(1)正、余弦定理的适用条件①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．(2)三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．②与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.『对接训练』3．[2019·广西南宁摸底联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，C＝π3，sinB＝2sinA，则△ABC的周长是()A．33B．2＋3C．3＋3D．4＋3解析：因为sinB＝2sinA，所以由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝3，所以a＝1，b＝2.故△ABC的周长是3＋3.故选C.答案：C4．[2019·福建泉州阶段检测]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝223，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36π解析：由余弦定理得b·b2＋c2－a22bc＋a·a2＋c2－b22ac＝2，即b2＋c2－a2＋a2＋c2－b22c＝2，得c＝2，由cosC＝223得sinC＝13.设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得2R＝csinC＝6，得R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.故选C.答案：C考点3正、余弦定理的综合应用[例3][2019·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．(1)由题设与正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12.又B是三角形内角，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°C90°，故12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.1．注意利用第(1)问中的结果：在题设条件下，如果第(1)问中的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问中的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问中的基础上求解．2．写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分.『对接训练』5．[2019·湖南长沙调研]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2.(1)若A＝π3，b＝3，求sinC的值；(2)若sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝3sinC，且△ABC的面积S＝252sinC，求a和b的值．解析：(1)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋4－2×3×2×12＝7，解得a＝7.由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝217.(2)由已知得sinA×1＋cosB2＋sinB×1＋cosA2＝3sinC，sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝6sinC，sinA＋sinB＋sin(A＋B)＝6sinC，sinA＋sinB＝5sinC，所以由正弦定理得a＋b＝5c＝10，①又S＝12absinC＝252sinC，所以ab＝25②由①②得a＝b＝5.考点4与解三角形有关的交汇问题[交汇创新]解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[例4][2019·石家庄质量检测]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若ccosB＋bcosC＝2acosA，AM→＝23AB→＋13AC→，且AM＝1，则b＋2c的最大值是________．【解析】通解∵ccosB＋bcosC＝2acosA，∴sinCcosB＋sinBcosC＝2sinAcosA，∴sin(C＋B)＝2sinAcosA，∴sinA＝2sinAcosA．∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosA＝12，∴A＝π3.∵AM→＝23AB→＋13AC→，且AM＝1，∴23AB→＋13AC→2＝1，∴49c2＋29bc＋19b2＝1，即4c2＋2bc＋b2＝9.∵2bc≤b＋2c24，∴9＝4c2＋2bc＋b2＝(b＋2c)2－2bc≥34(b＋2c)2，∴b＋2c≤23，当且仅当b＝2c，即b＝3c＝32时等号成立，∴b＋2c的最大值为23.优解∵ccosB＋bcosC＝2acosA，∴a2＋c2－b22a＋a2＋b2－c22a＝2acosA，a＝2acosA，∴cosA＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.∵AM→＝23AB→＋13AC→，且AM＝1，∴23AB→＋13AC→2＝1，∴49c2＋29bc＋19b2＝1，即4c2＋2bc＋b2＝9.∵2bc≤b＋2c24，∴9＝4c2＋2bc＋b2＝(b＋2c)2－2bc≥34(b＋2c)2，∴b＋2c≤23，当且仅当b＝2c，即b＝3c＝32时等号成立，∴b＋2c的最大值为23.利用解三角形的知识