2020-2021学年高中数学 第一章 数列 3 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式课件

第一章数列§3等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式自主预习学案世界杂交水稻之父———袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒？从1979年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤．年增稻谷可养活6000万人口．西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻”，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝．1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第____________项起，每一项与它的前一项的比都等于____________常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．公比通常用字母____________表示____________.2．等比数列的通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式是：an＝________________________.2同一个q(q≠0)a1qn－1(a1≠0，q≠0)等比3．等比中项：如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成____________数列，那么根据等比数列的定义，Ga＝bG，____________，____________.我们称G为a，b的等比中项．4．等比数列的通项公式an＝a1·qn－1可以看作是____________型函数y＝cqx(c≠0，q≠0)．G2＝abG＝±ab指数5．等比数列的增减性(1)当____________或0q1，a10时，等比数列{an}是递增数列．(2)当q1，a10或____________，a10时，等比数列{an}是递减数列．(3)当____________时，等比数列{an}是常数列．(4)当____________时，等比数列{an}是摆动数列．q1，a100q1q＝1q01．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a，b，c都不为0才正确，④也需要看首项是正还是负，∴只有③正确．B2．(2019·全国卷Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2C[解析]由题意知a10，q0，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1，q＝2，∴a3＝a1q2＝4.故选C．D3．下列数列为等比数列的是()A．0,0,0,0，…B．22,42,62,82，…C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…D．1a，1a2，1a3，1a4，…[解析]A选项中，由于等比数列的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0,0,0，…，不是等比数列；D选项中的数列是首项为1a，公比为1a的等比数列，故选D．4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝____________.－2n或(－2)n[解析]设公比为q，则a3＝a1q2，∴q2＝－8－2＝4，∴q＝±2.∴an＝(－2)×2n－1＝－2n或an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n.5．2＋3与2－3的等比中项为____________.[解析]设2＋3与2－3的等比中项为G，则G2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G＝±1.±1互动探究学案命题方向1⇨等比数列的通项公式及应用在等比数列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.例题1[分析][解析](1)解法一：由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，故a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729.解法二：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.(2)由已知得a1q＝18，a1q3＝8，解得a1＝27，q＝23或a1＝－27，q＝－23.(3)由已知得a1q4－a1＝15①，a1q3－a1q＝6②，由①②得q2＋1q＝52，故q＝12或q＝2，当q＝12时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.『规律总结』等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，一般已知其中的三个可求得第四个，我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形使用问题．当然对于等比数列来说，可能有时计算起来方法不当，会非常烦琐，所以方法的选取非常重要．一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1.D〔跟踪练习1〕(1)(2019·临沂高二检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝()A．－12B．－2C．2D．12(2)在等比数列{an}中，①a4＝2，a7＝8，求an；②a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解析](1)∵a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝14，②∴②÷①得，q3＝18，∴q＝12.选D．(2)①解法一：因为a4＝a1q3a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8，②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝22n－53.②解法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18③a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9④由④③得q＝12，从而a1＝32，又an＝1，所以32×(12)n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.命题方向2⇨等比数列的判定例题2已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N＋)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．[分析]先利用an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，求a1，a2，an，再利用定义证明{an}是等比数列．[解析](1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，解得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)＝13(an－an－1)，得anan－1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．『规律总结』(1)证明一个数列是等比数列的常用方法：①定义法an＋1an＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．②等比中项法a2n＋1＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)⇔{an}为等比数列．③通项公式法an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．(2)已知Sn与an的关系，要注意在n≥2时，得到an与an－1的关系．〔跟踪练习2〕如果数列{an}的前n项和Sn满足对任意的n∈N＋，都有Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．[解析]an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，an＋1an＝2n2n－1＝2，当n＝1时，an＋1an＝a2a1＝22＋a.故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．命题方向3⇨等比中项的应用等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．例题3[分析]设出首项和公比→由题意列方程组→解方程组求q→求a1→求等比中项.[解析]设该等比数列的首项为a1，公比为q，因为a2－a5＝42，所以q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝168a1q－a1q4＝42，所以a11＋q＋q2＝168a1q1－q3＝42，因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，所以由②除以①，得q(1－q)＝14.所以q＝12.所以a1＝4212－124＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962×1210＝9.所以a5，a7的等比中项是±3.『规律总结』由等比中项的定义可知：Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab(ab≠0)，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．〔跟踪练习3〕若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．[解析]因为a,2a＋2,3a＋3成等比数列，所以(2a＋2)2＝a(3a＋3)．解得a＝－1或a＝－4.因为当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，故应舍去．故a的值为－4.命题方向4⇨等比数列的应用题某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[分析]根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．例题4[解析](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1＝8.857.∴用满4年时卖掉时，他大概能得8.857万元．『规律总结』常见等比数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．〔跟踪练习4〕容积为aL(a1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?[解析]开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1－1a.设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度是an＋1＝an(1－1a)．所以{an}构成以a1＝1－1a为首项，q＝1－1a为公比的等比数列．所以an＝(1－1a)n，即第n次操作后溶液的浓度是(1－1a)n.当a＝2时，由a1＝(12)n110，得n≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.命题方向5⇨构造等比数列的技巧例题5设数列{an}满足关系式：an＝32an－1＋5(n≥2)，a1＝－172.(1)求数列{an}的通项公式；(2)问数列{an}从第几项开始大于0？(ln2≈0.3010，lg3≈0.4771)[分析]求{an}的通项公式可考虑构造辅助数列的方法．[解析](1)由题意，得an＋10＝32(an－1＋10)(n≥2)，∴数列{an＋10}是首项为a1＋10＝32，公比为32的等比数列，∴an＋10＝32×(32)n－1＝(32)n，∴an＝(32)n－10.(2)令an0，即(32)n10，两边取常用对数，得nlg321，∴