2020-2021学年高中数学 第四章 圆与方程 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必

4.3.2空间两点间的距离公式空间中两点间的距离公式(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=____________________________.222121212xxyyzz（）(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=__________.222xyz【思考】在空间两点间的距离公式中,两个点坐标的前后顺序能不能改变?提示:能.空间中两点间的距离公式也可以写成|P1P2|=.222212121xxyyzz【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)用空间两点间的距离公式不能求平面内两点的距离.()提示:×.平面内两点间的距离是空间两点间距离的特例,可以用空间两点间的距离公式求平面内两点的距离.2.空间直角坐标系中,设A(1,3,0),B(-3,6,12),则|AB|=()A.B.13C.5D.25【解析】选B.|AB|==13.2223163120133.已知空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)之间的距离为,则z=()A.2B.0或2C.0D.2或1【解析】选B.由于空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)之间的距离为,即则(z-1)2=1,解得z=0或2.11112221221z111＝，4.已知点P(1,2,3),Q(-3,5,2),它们在面xOy内的投影分别是P′,Q′,则|P′Q′|=________.【解析】因为点P(1,2,3),Q(-3,5,2),它们在面xOy内的投影分别是P′,Q′,所以P′(1,2,0),Q′(-3,5,0),|P′Q′|==5.答案:5222132500（）（）（）类型一求空间两点间的距离【典例】1.设A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()13535353A.B.C.D.24222.在空间直角坐标系中,点M(2,-1,3),若点A与点M关于xOy平面对称,点B与点M关于x轴对称,则|AB|=()A.2B.4C.2D.357【思维·引】1.先求出中点坐标,再利用距离公式求距离.2.先求出相应的对称点,再利用距离公式求距离.【解析】1.选D.因为A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),所以线段AB的中点P,所以点P到点C的距离为|PC|=3(23)2，，22235302(1)0322（）＝．2.选A.因为点M(2,-1,3)关于平面xOy的对称点为A,它的横坐标与纵坐标不变,竖坐标相反,所以A(2,-1,-3);点M(2,-1,3)关于x轴的对称点为B,它的横坐标不变,纵坐标相反,竖坐标相反,所以B(2,1,-3),所以|AB|==2.222221133（）（）（）【内化·悟】应用空间中两点间的距离公式时需要注意什么问题?提示:注意前后的坐标作差要准确.【类题·通】关于空间两点间的距离公式求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,若点的坐标中含有未知数,则代入距离公式后列出方程求根.【习练·破】1.空间中两点A(1,-1,2),B(-1,1,2+2)之间的距离是()A.3B.4C.5D.62【解析】选B.因为A(1,-1,2),B(-1,1,2+2),所以A,B两点之间的距离d==4.222211112222（）（）（）2.一束光线自点P(1,1,1)出发,被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光所走的距离是()【解析】选D.由题意,P(1,1,1)关于平面xOy的对称点为M(1,1,-1),则|QM|=A.37B.33C.47D.5722231316157.（）（）（）＝【加练·固】在空间直角坐标系中,A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),则△ABC为()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形【解析】选B.因为在空间直角坐标系中,A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),所以|AB|=|AC|=|BC|=22210411697（）（）（）＝，2222441397（）（）（）＝，222102146372＝，所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以△ABC为等腰直角三角形.类型二空间几何体中的距离【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C的中点,求线段MN的长度.【思维·引】先建立空间直角坐标系,确定点M,N的坐标,利用距离公式求距离.【解析】如图所示,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2),因为N为CD1的中点,所以N.因为M是A1C1的三等分点且靠近A1点,所以M(1,1,2).由两点间距离公式,得|MN|=3(31)2，，222321(1)(31)(12).22－＋－＋－＝【内化·悟】如果建立的坐标系不一样,点的坐标一样吗?求出的距离一样吗?提示:坐标不一样,距离一样.【类题·通】关于图形中的距离问题若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.一般按如下的步骤:【习练·破】已知正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,且PA=2,E是PD中点.以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则|CE|=________.【解析】因为正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,且|PA|=2,E是PD中点.所以C(2,2,0),E(0,1,1),所以|CE|=答案:2222021016＝．6【加练·固】如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为()21A.2aB.aCaD.a22．【解析】选B.由题意得F,A1(a,0,a),C(0,a,0),所以E,所以|EF|=a(a0)2，，aaa()222，，222aaaa2(a)()(0)a.22222－＋－＋－＝类型三空间中两点间距离公式的应用角度1求点的坐标【典例】(2019·随州高一检测)空间直角坐标系Oxyz中,在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为________.【思维·引】根据z轴上点的坐标特点,设出C点的坐标,利用距离公式求值.【解析】设所求点C(0,0,z),因为点C与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离,所以解得z=.答案:222417z（）（）＝22230502z，14914(00)9，，【素养·探】在利用距离公式求点的坐标时,常常用到核心素养中的数学运算,解决与距离相关的问题.本例的条件不变,试求y轴上的点D,使|AD|=|BD|.【解析】设点D(0,y,0),因为|AD|=|BD|,所以解得y=-,所以D.22222241y735y2（），727(0,,0)2角度2与距离有关的最值【典例】已知A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),则|AB|的最小值为________.【思维·引】利用距离公式表示出|AB|,通过配方求最值.【解析】因为A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),所以|AB|=所以当a=-1时,|AB|取最小值答案:322222a17a255a10a59（）＝＝25a154，5436＝．6【类题·通】1.求未知点的坐标设出点的坐标,利用距离公式列出方程,解方程求出点的坐标即可.2.关于空间中距离的最值问题利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【延伸·练】已知A(3,0,1),B(1,1,2),则到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件为()A.2x+y-z=0B.x+y-2z=0C.x+y-z+3=0D.2x-y-z-2=0【解析】选D.因为点P(x,y,z)到A(3,0,1),B(1,1,2)两点的距离相等,所以(x-3)2+(y-0)2+(z-1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2,整理得2x-y-z-2=0.【习练·破】已知空间中点A(x,1,2)和点B(2,3,4)且|AB|=2,则实数x的值是()A.6或-2B.-6或2C.3或-4D.-3或46【解析】选A.由题意化简得(x-2)2=16,解得x=6或x=-2.222x2132426,（）【加练·固】在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.【解析】(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说,y轴上所有的点都满足|MA|=|MB|.2223y12221y3,(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.因为|MA|=|AB|=2222300y1010y,22213003120,于是解得y=±,故在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,点M的坐标为(0,,0)或(0,-,0).210y20,101010