2020-2021学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.3 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必

4.2.3直线与圆的方程的应用用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”【思考】利用坐标法解决直线与圆的问题时,建立坐标系需要遵循的原则是什么?提示:一般借助图形中的对称轴、对称中心分别为坐标轴、原点建系,如果图形没有对称性,则利用图形中的边为坐标轴,尽可能多的把图形中的点、线放到坐标轴上.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建.()(2)圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|-|OM|.()(3)已知点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1=x2,y1≠y2,则PQ与x轴垂直.()【提示】(1)×.建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响,应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系.(2)√.数形结合可知,当P,O,M三点共线,且M在P,O之间时,距离最小.(3)√.若x1=x2,y1≠y2,则直线PQ的斜率不存在,直线PQ与x轴垂直.2.方程y=对应的曲线是()24x【解析】选A.由方程y=,得x2+y2=4(y≤0),它表示的图形是圆x2+y2=4在x轴以下的部分.24x3.如图,圆弧形拱桥的跨度AB=12米,拱高CD=4米,则拱桥的直径为________.【解析】设圆心为O,半径为r,则由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即r2=(r-4)2+62,解得r=,所以拱桥的直径为13米.答案:13米132类型一直线与圆的实际应用问题【典例】为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图所示),它的附近有一条公路.从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.【思维·引】建立坐标系,写出直线BC的方程,点O到直线BC的距离减去半径,即为DE的最短距离.【解析】以O为坐标原点,过OB,OC所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为=1,即x+y=8.当点D为与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点时,|DE|为最短距离,此时DE的长为-1=(4-1)km.xy88＋|008|2＋－2【类题·通】求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤(1)认真审题,明确题意.(2)建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程.(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题.(4)把代数结果还原为实际问题的解.提醒:在实际问题中,有些量具有一定的条件,转化成代数问题时要注意范围.【习练·破】如图所示,l是东西走向的一条水管,在水管北侧有两个半径都是10m的圆形蓄水池A,B(A,B分别为蓄水池的圆心),经测量,点A,B到水管l的距离分别为55m和25m,AB=50m.以l所在直线为x轴,过点A且与l垂直的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系(O为坐标原点).(1)求圆B的方程.(2)计划在水管l上的点P处安装一接口,并从接口出发铺设两条水管,将l中的水引到A,B两个蓄水池中,问点P到点O的距离为多少时,铺设的两条水管总长度最小?并求出该最小长度.【解析】(1)过点B作BC⊥OA于点C,如图所示,则在Rt△ABC中,AB=50,AC=55-25=30,所以BC=40.又B到x轴的距离为25,所以B(40,25),所以圆B的方程为(x-40)2+(y-25)2=100.(2)设圆A关于x轴对称的圆为圆D,则圆D:x2+(y+55)2=100,D(0,-55).又B(40,25),所以kDB==2,所以直线BD的方程为2x-y-55=0.因为|AP|=|DP|,所以|AP|+|BP|=|DP|+|BP|,所以当点D,P,B三点共线时|DP|+|BP|最小,即|AP|+|BP|最小,最小值为|BD|=2555400－（－）－224080405.＋＝由解得即点P到点O的距离为m时,铺设的两条水管总长度最小,最小为(40-20)m.2xy550 y0－－＝，＝，55x?2y0＝，＝，5525【加练·固】如图,一座圆拱桥,当水面在m位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米.当水面下降1米后水面宽多少米?【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得:A(6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将A的坐标代入圆的方程可得r=10,所以圆的方程是:x2+(y+10)2=100,则当水面下降1米后可设A′的坐标为(x0,-3)(x00)代入圆的方程可得x0=,所以当水面下降1米后,水面宽为2米.5151类型二坐标法的应用【典例】如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,用坐标法证明:(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2.34【思维·引】建立直角坐标系,设出点A,B,C,D的坐标,利用已知关系确定坐标关系即可.【解析】以B为原点,BC为x轴建立平面直角坐标系如图所示:设C(a,0),A(b,c),则由左边公式可得,左边=(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=(b2+c2+a2+a2-2ab+b2+c2)=(a2+b2+c2-ab),同理可得,右边=|AD|2+|BE|2+|CF|2==(a2+b2+c2-ab),所以(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2.abcabcD(,0),F(,),E(,)22222，343432222aba(b)c24222cbc(a)4243234【内化·悟】利用坐标法证明几何问题有什么优点?提示:将图形关系证明转化为坐标计算,简化了烦琐的几何证明过程.【类题·通】坐标法建立直角坐标系应坚持的原则(1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴.(2)充分利用图形的对称性.(3)让尽可能多的点落在坐标轴上,或关于坐标轴对称.(4)关键点的坐标易于求得.【习练·破】已知点P为正方形ABCD内一点,且满足∠PAB=∠PBA=15°,用坐标法证明△PCD为等边三角形.(tan15°=2-)3【证明】设正方形的边长为2,以P为坐标原点建立如图所示的坐标系,则B(1,-tan15°),C(1,2-tan15°),D(-1,2-tan15°),因为tan15°=2-,所以C(1,),D(-1,),所以|PC|=|PD|=|CD|=2,所以△PCD为等边三角形.333【加练·固】在△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,求证:△ABC为等腰三角形.【证明】如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,所以由两点间的距离公式,得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d),又d-b≠0,故-b-d=c-d,即-b=c,所以△ABC为等腰三角形.类型三与圆相关的最值问题角度1利用几何意义求最值【典例】(2019·抚顺高一检测)已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是()A.6B.3+C.14+6D.14555【思维·引】利用x2+y2=的几何意义求最值.222(x0y0)（）【解析】选C.方程x2+y2+4x-2y-4=0变形为(x+2)2+(y-1)2=9,表示圆心为(-2,1),半径为3的圆,画出相应的图形,如图所示:连接OB并延长,与圆B交于A点,此时x2+y2的最大值为|AO|2,又|AO|=|AB|+|BO|=则|AO|2=(3+)2=14+6,即x2+y2的最大值为14+6.2232135＝，555【素养·探】在利用几何意义求最值时,常常用到核心素养中的直观想象,可以将式子变形,赋予其几何意义,再利用几何性质求最值.本例的条件不变,试求|x+y+6|的最小值.【解析】|x+y+6|=表示圆上点到直线x+y+6=0的距离的倍,最小为圆心到直线的距离减半径的倍,即22xy62,11｜｜22222162(3)532.11｜｜角度2与切线相关的最值【典例】点P在直线4x+3y+20=0上,PA,PB与圆x2+y2=4相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为________.【思维·引】利用切线的性质表示出面积,确定决定面积最值的量,从而求该量的最小值.【解析】根据题意,圆的方程为x2+y2=4,则圆心(0,0),半径r=2,又由|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,则S四边形PAOB=2S△PAO=2××|PA|·|AO|=2PA,在Rt△PAO中,有|PA|2=|PO|2-r2=|PO|2-4,则当PO最小时,PA最小,此时所求的面积也最小,点P是直线4x+3y+20=0上的动点,则PO的最小值为d==4,PA的最小值为故S四边形PAOB=2PA≥4.1220169｜｜2d423＝，3答案:43【类题·通】1.利用直线与圆的方程解决最值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有斜率、截距、距离等.(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.2.涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数形结合求解,一般地:(1)形如u=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.ybxa(2)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为点(x,y)与点(a,b)的距离最值问题.(3)形如|Ax+By+C|形式的最值问题,可以转化为点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的最值的倍问题.22AB【习练·破】1.(2019·长春高一检测)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为()A.6B.C.8D.112212【解析】选B.求△ABP面积的最小值,即求P到直线AB的最小值,即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为3x-4y-12=0,圆x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心到直线AB的距离为d=所以P到直线AB的最小值为因为|AB|=5,所以△ABP面积的最小值为4121655｜｜＝，1611155＝，111115.2522.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为()A.-9,1B.-10,1C.-9,2D.-10,2【解析】选A.根据题意,设z=y-2x,则y=2x+z,则z可看作是直线y=2x+z在y轴上的截距,方程x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆,如图所示,5当直线y=2x+z与圆相切时,纵截距z取得最大值或最小值,此时有解得z=-9或1,则y-2x的最大值为1,最小值为-9.220z55｜｜＝，【加练·固】(2019·海淀高一检测)由直线y=x+3上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为________.【解析】根据题意,设圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心为C,则C(3,-2),其半径为1,设P为直线y=x+3上任意一点,过点P向圆C引切线,切点为T,则|PT|=,则当|PC|最小时,|PT|最小,而|PC|的最小值为C到直线的2PC1｜｜距离d,且d=则切线长|PT|的最小值为答案:3234211｜｜＝，32131.＝31