2020-2021学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性

2.3.3直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言【思考】线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据,你能想到其他转化依据吗?提示:【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)三角形的两边可以垂直于同一个平面.()(2)垂直于同一个平面的两条直线一定共面.()(3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.()提示:(1)×.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.(2)√.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.(3)√.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.2.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或平行【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.3.直线n⊥平面α,n∥l,直线m⊂α,则l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直【解析】选D.因为直线n⊥平面α,n∥l,所以l⊥平面α,又因为直线m⊂α,所以l⊥m.类型一直线与平面垂直的性质的应用【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.【思维·引】证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.【证明】连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又因为AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥A1D,且A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1.【素养·探】在与线面垂直性质应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过判定直线与平面的垂直,得到直线与直线平行,实现“平行”与“垂直”的转化.将本例正方体满足的条件改为“M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC”求证:MN∥AD1.【证明】因为ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1.所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.【类题·通】证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.【习练·破】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求证:AE∥MN.【证明】因为AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,所以AE⊥AB,又AB∥CD,所以AE⊥CD.因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.【加练·固】如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,B为垂足,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l.【证明】因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a.又因为a⊥AB,AB∩EB=B,所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l,所以l⊂α,l⊂β.因为EA⊥α,EB⊥β,所以EA⊥l,EB⊥l.又因为EA∩EB=E,所以l⊥平面ABE.所以a∥l.类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用【典例】(2019·赣州高一检测)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D,F分别是A1B1,BB1的中点.(1)求证:C1D⊥AB1.(2)求证:AB1⊥平面C1DF.2【思维·引】(1)要证C1D⊥AB1,需证C1D⊥平面AA1B1B,需证C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,由已知可证.(2)要证AB1⊥平面C1DF,需证AB1⊥DF,需证A1B⊥AB1,需证四边形AA1B1B为正方形,由已知可证.【证明】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又因为AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,又因为AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.(2)连接A1B,因为D,F分别是A1B1,BB1的中点,所以DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中,所以A1B1=,所以A1B1=AA1,即四边形AA1B1B为正方形,所以AB1⊥A1B,即AB1⊥DF,222111111ABACBC＝，2又(1)已证C1D⊥AB1,又DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.【素养·探】在与线面垂直判定和性质综合应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,常见的推理形式有:(1)l⊥α,m⊂α⇒l⊥m.(2)l⊥a,l⊥b,a∩b=A,a⊂α,b⊂α⇒l⊥α.(3)l⊥α,l∥m⇒m⊥α.(4)l⊥α,m⊥α⇒l∥m等.将本例直三棱柱满足的条件改为“E,F分别在BC,B1B上,且B1E⊥C1F,A1C1⊥B1C1”求证:B1E⊥平面A1C1F.【证明】因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1⊥CC1,又因为A1C1⊥B1C1.B1C1∩CC1=C1,所以A1C1⊥平面BCC1B1,因为B1E⊂平面BCC1B1,所以A1C1⊥B1E,因为B1E⊥C1F,A1C1∩C1F=C1,所以B1E⊥平面A1C1F.【类题·通】线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.【习练·破】如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.【证明】因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,所以AE⊥BF.因为BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE.【加练·固】如图,在四面体PABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BC=.(1)求四面体PABC的四个面的面积中,最大的面积是多少?(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.3PMMC【解析】(1)由题设AB=1,AC=2,BC=,可得AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AB,PA⊥AC,3所以PB=.又由于PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB,所以△ACB,△PAC,△PAB,△PCB均为直角三角形,且△PCB的面积最大,S△PCB=21623.22(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.因为△ABN与△ACB相似,AN=从而NC=AC-AN=由MN∥PA,得ABAB1AC2，3.2PMAN1.MCNC3＝＝