2020-2021学年高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念及简单的表示

第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念及简单的表示学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的判断与证明培养学生的逻辑推理素养．自主预习探新知1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，公差通常用字母表示．(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*).2前一项同一个常数常数公差公差d2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是．a＋b＝2A思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.[提示]插入的数分别为3，2，a＋b2，0.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝．a1＋(n－1)d思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*).4．从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加．d思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？[提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．C[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]1．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()A.4－2nB．2n－4C.6－2nD．2n－63[(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]2．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝．3[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]3[(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]3．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有个．0[lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项为：lg（3＋2）＋lg（3－2）2＝lg[（3＋2）（3－2）]2＝lg12＝0.]4．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是．合作探究释疑难【例1】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．等差中项[解]∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1，1，3，5，7.三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).21[由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.][跟进训练]1．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝．【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；(2)已知数列{an}是等差数列，a5＝－1，a8＝2，求a1与d.思路探究：设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．等差数列的通项公式及其应用[解](1)∵a4＝7，a10＝25，则a1＋3d＝7，a1＋9d＝25，得a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，∴通项公式an＝3n－5(n∈N*).(2)∵a5＝－1，a8＝2，∴a1＋4d＝－1，a1＋7d＝2，解得a1＝－5，d＝1.1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋（m－1）d＝a，a1＋（n－1）d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．[跟进训练]2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？[解](1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．[探究问题]1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*)，则{an}是等差数列吗？为什么？[提示]由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．等差数列的判定与证明2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？[提示]是，由等差中项的定义可知．3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？[提示]∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．【例3】已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列1an是否为等差数列？说明理由；(2)求an.思路探究：①要判断数列1an是否为等差数列，是否要先求1an＋1－1an的表达式？②能否求出数列1an的通项公式？[解](1)数列1an是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即1an是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由上述可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2”．(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2（an－2）－1an－2＝an－22（an－2）＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否是等差数列．[解]当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝32，但a2－a1＝1≠32，故数列{an}不是等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．课堂小结提素养1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d0时为递增数列；d＝0时为常数列；d0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．C[由已知得，a1（a1＋2d）＝8，a1＋d＝3，解得d＝±1.]2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝()A.1B．－1C.±1D．±23[a＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝3.]3．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为．4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．[解]因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以an－an－1＝2(常数).又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列．Thankyouforwatching!