2020-2021学年高中数学 第1章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 公式二、公式

第一章三角函数§1数列1.3三角函数的诱导公式第1课时公式二、公式三和公式四学习目标核心素养1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式二、三、四2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、证明问题．(难点)1.通过对诱导公式的推导，提升学生的数学抽象和直观想象素养.2.通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算素养.自主预习探新知1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于对称．如图所示．原点(2)公式：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝.tanα－sinα－cosα2．公式三(1)角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝.x－sinαcosα－tanα3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝.ysinα－cosα－tanα思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？[提示](1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．公式二、三、四的推导过程如下：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x.由π＋α的终边与单位圆交点为得sin(π＋α)＝＝－sinα，cos(π＋α)＝＝－cosα.由－α的终边与单位圆交点为得(x，－y)(－x，－y)－y－xsin(－α)＝＝－sinα，cos(－α)＝＝cosα.由π－α的终边与单位圆交点为得sin(π－α)＝＝sinα，cos(π－α)＝＝－cosα.－yx(－x，y)y－x1．下列说法中正确的是()A．公式二～四对任意角α都成立B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sinCD．以上说法均错误C[A错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋π2，k∈Z.B错误由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．C正确因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.故选C.]2．tan(－2025°)的值为()A．0B．1C．－1D.3C[tan(－2025°)＝－tan2025°＝－tan(5×360°＋225°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.]3．已知tanα＝3，则tan(π＋α)＝.3[tan(π＋α)＝tanα＝3.]4．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是．－12[由sin(π＋α)＝－12得－sinα＝－12即sinα＝12，所以sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－12.]合作探究释疑难给角求值问题【例1】求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－945°)．[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)法一：cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.法二：cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1“负化正”——用公式一或三来转化；2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.[跟进训练]1．求下列各三角函数值：(1)cos－11π6；(2)tan(－765°)；(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4.[解](1)cos－11π6＝cos11π6＝cos2π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.(2)tan(－765°)＝tan(－720°－45°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4＝sinπ＋π3cos4π＋π6tanπ＋π4＝－sinπ3×cosπ6×tanπ4＝－32×32×1＝－34.化简求值【例2】(1)化简：cos－αtan7π＋αsinπ－α＝；(2)化简：cos180°＋αsinα＋360°sin－α－180°cos－180°－α.(1)1[cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.](2)[解]原式＝－cosα·sinα[－sinα＋180°]·cos180°＋α＝sinαcosαsinα＋180°cos180°＋α＝sinαcosα－sinα－cosα＝1.三角函数式化简的常用方法1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.3注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.[跟进训练]2．化简：(1)sinπ＋αsin2π－αcos－π－αsin3π＋αcosπ－αsinπ－α；(2)化简：1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.[解](1)原式＝－sinα－sinα－cosαsinπ＋α－cosαsinα＝－sinα－sinα－cosα－sinα－cosαsinα＝－1.(2)原式＝1＋2sin360°－70°cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.给值(式)求值问题【例3】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.m2－12B.m2＋12C.1－m22D．－m2＋12(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．思路点拨：(1)化简已知和所求三角函数式→根据sinα±cosα，sinαcosα的关系求值(2)105°＋α－α－75°＝180°cosα－75°＝－13，α为第四象限角→求sinα－75°→用sin180°＋α＝－sinα求值(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝sinα＋cosα2－12＝m2－12.](2)[解]∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－1－－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.1．例3(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．[解]cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝13.2．将例3(2)的条件“cos(α－75°)＝－13”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？[解]因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，所以α－75°是第四象限角．由sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，sinα－75°cosα－75°＝－5，解得sinα－75°＝－52626，cosα－75°＝2626或sinα－75°＝52626，cosα－75°＝－2626.(舍)所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝52626.解决条件求值问题的两个技巧1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.利用诱导公式化简或证明问题[探究问题]1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)＝tanα(其中k∈Z)．【例4】设k为整数，化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.思路点拨：本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．[解]法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sin－αcosπ＋αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝－sinkπ＋α[－coskπ＋α]－sinkπ＋αcoskπ＋α＝－1.明确三角函数式化简的原则和方向1切化弦，统一名.2用诱导公式，统一角.3用因式分解将式子变形，化为最简.提醒：注意分类讨论思想的应用.[跟进训练]3．求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α＝－tanα.[证明]左边＝tan－αsin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝－tanα－sinαcosα－cosαsinα＝－tanα＝右边，∴tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α＝－tanα.课堂小结提素养1．各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的